[论文解读] Ancient mean curvature flows and their spacetime tracks

Francesco Chini, Niels Martin Møller|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文建立了欧氏空间中适当浸入的古老平均曲率流的双半空间定理（楔形定理），证明此类流不能被包含在两个非平行半空间的交集中。通过抛物型Omori-Yau最大值原理，作者对这些流的时空轨迹的凸包进行了分类，表明紧致凸的古老流的可达集闭包只能是柱形、半空间或整个空间——这一结果推广了此前对极小曲面和自平移孤立子的分类结果。

ABSTRACT

We study properly immersed ancient solutions of the codimension one mean curvature flow in $n$-dimensional Euclidean space, and classify the convex hulls of the subsets of space reached by any such flow. In particular, it follows that any compact convex ancient mean curvature flow can only have a slab, a halfspace or all of space as the closure of its set of reach. The proof proceeds via a bi-halfspace theorem (also known as a wedge theorem) for ancient solutions derived from a parabolic Omori-Yau maximum principle for ancient mean curvature flows.

研究动机与目标

• 对欧氏空间 R^{n+1} 中适当浸入的古老平均曲率流的时空轨迹的凸包进行分类。
• 在无曲率或非坍塌假设的前提下，为古老平均曲率流建立楔形定理（双半空间定理）。
• 将此前对极小曲面和自平移孤立子的分类结果推广至古老平均曲率流的设定。
• 为古老解的分类及平均曲率流奇点的分析提供基础工具。
• 通过抛物型Omori-Yau原理，将最大值原理的应用范围扩展至古老流。

提出的方法

• 为古老平均曲率流推导出抛物型Omori-Yau最大值原理，确保存在具有受控梯度和非负时间拉普拉斯算子的近似最大值点。
• 将最大值原理应用于流的时空柱面上定义的函数，以控制其几何行为。
• 利用楔形定理排除被包含在两个非平行半空间交集中的古老流。
• 将楔形定理应用于刻画可达集的凸包为所有包含流像的半空间的交集。
• 利用凸区域的单调性及在某一点的灭绝性质，证明可达集的凸包包含奇点极限点。
• 在缺乏全局可微性的情况下，采用局部Lipschitz正则性论证与积分估计，构造近似最大值点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无曲率或非坍塌假设的前提下，能否对适当浸入的古老平均曲率流的时空轨迹凸包进行刻画？
• RQ2 能否通过抛物型最大值原理证明古老平均曲率流的双半空间定理（楔形定理）？
• RQ3 紧致凸古老平均曲率流的可达集闭包可能的几何类型（柱形、半空间、全空间）有哪些？
• RQ4 古老流的时空凸包与其初始和最终（奇点）状态的凸包之间有何关系？
• RQ5 对极小曲面和自平移孤立子的分类结果，能在多大程度上推广至一般古老平均曲率流？

主要发现

• 任何在 R^{n+1} 中适当浸入的古老平均曲率流都不能被包含在两个非平行半空间的交集中，从而确立了双半空间定理。
• 紧致凸古老平均曲率流的可达集凸包要么是柱形，要么是半空间，要么是整个 R^{n+1}。
• 在不存在两个此类半空间非平行的前提下，流像的时空凸包等于所有包含流的半空间的交集。
• 对于紧致凸古老流，可达集的凸包包含在时间 0 处的奇点灭绝点，因此 Conv(R) = R ∪ {p_∞}。
• 抛物型Omori-Yau最大值原理保证了存在一列点，使得函数值趋近其上确界，且梯度趋于零、时间拉普拉斯算子非负。
• 结果推广了先前的分类：从自平移孤立子 [CM18]，到极小曲面 [HM90]，再到锥形有界极小曲面 [Om67]。