[论文解读] Anisotropic mesh adaptation in Firedrake with PETSc DMPlex

Nicolas Barral, Matthew G. Knepley+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种基于 PETSc DMPlex 和 Pragmatic 库的 Firedrake 中各向异性网格自适应集成框架，实现了时间依赖PDE的高效、自动化求解，显著降低了数值扩散。该方法在3D对流测试案例中仅使用50个自适应网格和25个时间子区间即达到高精度，单核串行运行时间为32小时。

ABSTRACT

Despite decades of research in this area, mesh adaptation capabilities are still rarely found in numerical simulation software. We postulate that the primary reason for this is lack of usability. Integrating mesh adaptation into existing software is difficult as non-trivial operators, such as error metrics and interpolation operators, are required, and integrating available adaptive remeshers is not straightforward. Our approach presented here is to first integrate Pragmatic, an anisotropic mesh adaptation library, into DMPlex, a PETSc object that manages unstructured meshes and their interactions with PETSc's solvers and I/O routines. As PETSc is already widely used, this will make anisotropic mesh adaptation available to a much larger community. As a demonstration of this we describe the integration of anisotropic mesh adaptation into Firedrake, an automated Finite Element based system for the portable solution of partial differential equations which already uses PETSc solvers and I/O via DMPlex. We present a proof of concept of this integration with a three-dimensional advection test case.

研究动机与目标

• 解决现有PDE求解器中各向异性网格自适应的可用性和集成性不足问题，从而阻碍其广泛应用。
• 通过利用 PETSc DMPlex 的网格管理能力，实现在 Firedrake 等高层有限元框架中无缝集成网格自适应。
• 展示基于误差指标计算、网格生成和解转移的瞬态、各向异性网格自适应工作流程。
• 为在 Firedrake 中实现网格自适应的完全自动化奠定基础，支持未来扩展至高阶有限元和并行执行。

提出的方法

• 该方法采用全局固定点自适应算法，将模拟划分为25个时间子区间，每个区间通过解的黑塞矩阵计算误差指标。
• 基于解的黑塞矩阵构建度量场，经归一化后，通过 Pragmatic 库指导各向异性网格自适应。
• DMPlex 负责无结构网格的表示，并实现与 PETSc 求解器和 I/O 的无缝接口，而 Pragmatic 则利用局部网格优化技术（包括加密、聚合、边交换和光滑）进行处理。
• 通过 Firedrake 内置的拉格朗日 $P^1$ 有限元插值方法，采用点插值和线性插值实现不同网格间的解转移。
• 整个工作流在 Firedrake 中编排，其将变分形式编译为高效的并行代码，并与 PETSc 接口以实现求解和网格管理。
• 该方法采用克兰克-尼科尔森时间格式并结合 SUPG 稳定化，以在对流主导问题中保持稳定性和精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 各向异性网格自适应能否在 Firedrake 等高层有限元框架中实现高效且透明的集成？
• RQ2 如何实现误差指标计算、网格自适应和解转移等复杂工作流的自动化与可扩展性？
• RQ3 DMPlex、Pragmatic 和 Firedrake 的组合能否在具有挑战性的3D瞬态对流问题中实现高精度、低扩散的解？
• RQ4 当该网格自适应工作流在串行环境下执行时，其计算成本和可扩展性如何？

主要发现

• 该框架成功实现了在3D对流问题中针对瞬态PDE的完整各向异性网格自适应工作流，仅使用50个自适应网格和25个时间子区间。
• 解表现出极低的数值扩散，对流前缘被清晰分辨，多个时间步的等值面可视化结果证实了这一点。
• 该模拟在单核上耗时32小时，尽管目前尚未实现完全并行化，但仍证明了该方法的高效性。
• 网格自适应过程生成了与流场对齐的带状各向异性单元，表明度量驱动的加密策略有效。
• 将 Pragmatic 集成到 DMPlex 中，实现了从度量场单次调用完成网格自适应，显著简化了 PETSc 用户的工作流程。
• 该方法可扩展至高阶有限元，未来工作计划使用 Supermesh 库以提升解转移的精度。