[论文解读] Anisotropy-based optimal filtering in linear discrete time invariant systems

Igor G. Vladimirov|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 5被引用 12

一句话总结

本文提出了一种针对线性离散时间不变系统（LDTI）的a-各向异性最优滤波框架，其中估计器在干扰的均值各向异性有界条件下，最小化最坏情况下的误差-噪声RMS比。该解保留了卡尔曼滤波器的结构，但需要求解耦合的代数Riccati方程和行列式约束，当a=0时退化为标准卡尔曼滤波器，当a→∞时则退化为H∞-最优估计器。

ABSTRACT

This paper is concerned with a problem of robust filtering for a finite-dimensional linear discrete time invariant system with two output signals, one of which is directly observed while the other has to be estimated. The system is assumed to be driven by a random disturbance produced from the Gaussian white noise sequence by an unknown shaping filter. The worst-case performance of an estimator is quantified by the maximum ratio of the root-mean-square (RMS) value of the estimation error to that of the disturbance over stationary Gaussian disturbances whose mean anisotropy is bounded from above by a given parameter $a \ge 0$. The mean anisotropy is a combined entropy theoretic measure of temporal colouredness and spatial "nonroundness" of a signal. We construct an $a$-anisotropic estimator which minimizes the worst-case error-to-noise RMS ratio. The estimator retains the general structure of the Kalman filter, though with modified state-space matrices. Computing the latter is reduced to solving a set of two coupled algebraic Riccati equations and an equation involving the determinant of a matrix. In two limiting cases, where $a = 0$ or $a o +\infty$, the $a$-anisotropic estimator leads to the standard steady-state Kalman filter or the $H_{\infty}$-optimal estimator, respectively.

研究动机与目标

• 为在干扰谱特性存在不确定性的线性离散时间不变系统开发一种鲁棒滤波框架。
• 利用a-各向异性范数量化最坏情况下的估计误差性能，该范数界定了平稳高斯干扰的均值各向异性。
• 推导出在该各向异性约束下最小化最坏情况误差-噪声RMS比的最优估计器。
• 在极限情况下建立所提出的a-各向异性估计器与现有滤波范式（包括卡尔曼滤波和H∞滤波）之间的联系。
• 提供一个基于耦合代数Riccati方程和行列式方程的计算框架，以实现实际应用。

提出的方法

• 将滤波问题表述为随机极小极大优化问题，其中干扰的均值各向异性由参数a ≥ 0有界。
• 将a-各向异性范数定义为所有均值各向异性≤a的平稳高斯干扰下，误差-噪声RMS比的最大值。
• 推导出最优估计器结构为状态空间滤波器，其增益矩阵经过修改，类似于卡尔曼滤波器但具有更新的动力学特性。
• 将最优增益的计算归约为求解一组两个耦合的离散时间代数Riccati方程（DAREs）和一个行列式方程。
• 提出一种同伦算法，利用DARE解对参数的光滑依赖性以及矩阵向量化技术，实现数值求解。
• 证明最优估计器在极小极大问题中满足鞍点条件，从而在最坏情况各向异性干扰下保证鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当干扰的谱特性不确定时，如何量化线性离散时间不变估计器的最坏情况性能？
• RQ2 在均值各向异性有界约束下，最小化最大误差-噪声RMS比的最优估计器具有何种结构？
• RQ3 在极限情况（a=0 和 a→∞）下，a-各向异性估计器与标准卡尔曼滤波器和H∞-最优估计器有何关系？
• RQ4 控制a-各向异性估计器最优状态空间矩阵（增益）的方程组是什么？
• RQ5 能否构建一种数值算法，以高效且稳定的方式求解所得的非线性方程组？

主要发现

• a-各向异性最优估计器保留了卡尔曼滤波器的一般结构，但使用了通过极小极大优化导出的修改后状态空间矩阵。
• 最优增益矩阵通过求解两个耦合的离散时间代数Riccati方程和一个行列式约束方程获得。
• 在极限情况a=0时，a-各向异性估计器退化为标准稳态卡尔曼滤波器，对应于各向同性功率的白高斯噪声。
• 当a→∞时，估计器收敛于H∞-最优估计器，后者最小化所有有界能量干扰下的最坏情况增益。
• 误差算子的a-各向异性范数等于耦合Riccati方程解的最大特征值的平方根。
• 可采用同伦算法数值求解该方程组，利用DARE解对参数的光滑依赖性及矩阵向量化技术。