[论文解读] Anomalous transport and current fluctuations in a model of diffusing Levy walkers

Abhishek Dhar, Keiji Saito|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2013

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过精确的解析方法研究了具有长尾飞行时间的非相互作用 Lévy 行走者系统中的异常输运和电流涨落，推导出稳态电流、密度分布和矩生成函数。结果表明，电流按 $ J \sim L^{-1+\alpha} $ 缩放，其中 $ \alpha = \frac{1}{3} $，在环形几何结构中，电流涨落表现出与系统尺寸相关的缩放行为，这是由于飞行时间存在与系统尺寸相关的截断所致，与一维热输运模型的模拟结果一致。

ABSTRACT

A Levy walk is a non-Markovian stochastic process in which the elementary steps of the walker consist of motion with constant speed in randomly chosen directions and for a random period of time. The time of flight is chosen from a long-tailed distribution with a finite mean but an infinite variance. Here we consider an open system with boundary injection and removal of particles, at prescribed rates, and study the steady state properties of the system. In particular, we compute density profiles, current and current fluctuations in this system. We also consider the case of a finite density of Levy walkers on the ring geometry. Here we introduce a size dependent cut-off in the time of flight distribution and consider properties of current fluctuations.

研究动机与目标

• 理解具有边界注入和移除速率的非相互作用 Lévy 行走者系统中的稳态输运行为。
• 在具有指定 reservoir 的开放几何结构中，计算平均电流、密度分布和电流涨落。
• 分析在具有有限行走者密度和与系统尺寸相关的飞行时间截断的环形几何结构中的电流涨落。
• 将模型的预测与一维系统中的异常热输运（如硬点气体和非谐性链）联系起来。
• 推导开放和环形几何结构中积分电流的矩生成函数的精确表达式。

提出的方法

• 将 Lévy 行走建模为非马尔可夫过程，具有恒定速度，且飞行时间从重尾分布 $ \phi(t) \sim t^{-\beta} $ 中抽取，其中 $ 1 < \beta < 2 $。
• 通过涉及联合步长分布 $ \eta(x,t) = \frac{1}{2}[\delta(x - vt) + \delta(x + vt)]\phi(t) $ 的更新方程定义传播子 $ P(x,t) $。
• 使用生成函数和拉普拉斯变换计算位置和积分电流的矩与累积量。
• 在环形几何结构中引入与系统尺寸相关的截断 $ t_L \sim L^\delta $，以正则化发散。
• 利用路径积分和更新理论技术，推导出开放和环形几何结构中电流的精确矩生成函数。
• 推测电流高阶累积量的一般缩放形式为 $ \langle \mathcal{Q}^{2n} \rangle_c / t \sim L^{(2n - \beta)\delta - (2n - 1)} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有开放边界和粒子 reservoir 的 Lévy 行走模型中，稳态电流如何随系统尺寸缩放？
• RQ2 在非平衡 Lévy 行走系统中，稳态下的密度分布具有何种函数形式？
• RQ3 在具有有限 Lévy 行走者密度的环形几何结构中，电流涨落如何随系统尺寸缩放？
• RQ4 在开放和环形几何结构中，积分电流的矩生成函数的确切形式是什么？
• RQ5 在飞行时间中引入与系统尺寸相关的截断，如何影响环形结构中电流涨落的缩放行为？

主要发现

• 稳态电流按 $ J \sim L^{-1 + \alpha} $ 缩放，其中 $ \alpha = \frac{1}{3} $，与一维热输运模拟中观察到的异常傅里叶定律一致。
• 电流与密度梯度之间存在非局域关系，这与正常扩散输运中电流与梯度呈局部正比关系不同。
• 在环形几何结构中，电流的二阶累积量缩放为 $ \langle \mathcal{Q}^2 \rangle_c / t \sim L^{(2 - \beta)\delta - 1} $，其中 $ \beta \approx 5/3 $ 且 $ \delta \approx 3/2 $，与硬点气体的模拟数据相符。
• 四阶累积量缩放为 $ \langle \mathcal{Q}^4 \rangle_c / t \sim L^{(4 - \beta)\delta - 3} $，预测缩放为 $ \sim L^{1.5} $，与数值观测一致。
• 六阶累积量缩放为 $ \langle \mathcal{Q}^6 \rangle_c / t \sim L^{(6 - \beta)\delta - 5} $，支持一般缩放猜想 $ \langle \mathcal{Q}^{2n} \rangle_c / t \sim L^{(2n - \beta)\delta - (2n - 1)} $。
• 该模型为理解具有长飞行路径的系统中异常输运和电流涨落提供了精确的解析框架，对声子输运和无序介质中的光扩散具有相关性。