[论文解读] Anosov groups: local mixing, counting, and equidistribution

S. F. Edwards, Minju Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用 15

一句话总结

本文通过引入高阶半单李群中Anosov子群的Burger-Roblin测度高阶类比、证明矩阵系数的渐近衰减，并将这些结果应用于仿射对称空间中的双曲面计数和等分布定理，建立了这些子群的局部混合性。关键贡献是在$ t \to \infty $时，对Zariski稠密的Anosov子群$ \Gamma < G $，在极限锥内部方向上，给出了$ L^2(\Gamma\backslash G) $中矩阵系数的精确渐近公式。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected semisimple real algebraic group, and $Γ

研究动机与目标

• 理解在$ t \to \infty $时，$ L^2(\Gamma\backslash G) $中矩阵系数$ \langle \exp(tu)f_1, f_2 \rangle $的渐近行为，其中$ \Gamma < G $为Zariski稠密的Anosov子群。
• 引入高阶半单群中Burger-Roblin测度的高阶类比，以描述极限锥内部方向上矩阵系数的衰减。
• 通过广义Cartan分解，建立$ \Gamma $-轨道在仿射对称空间$ H\backslash G $中的双曲面计数结果。
• 将Duke-Rudnick-Sarnak与Eskin-McMullen的结果推广至高阶设置下的Anosov子群。
• 通过单参数子群作用，证明$ \Gamma\backslash \Gamma H $的平移在$ \Gamma\backslash G $中的等分布性。

提出的方法

• 将广义BMS和BR测度作为经典Burger-Roblin测度的高阶类比引入，其定义基于极限集和Furstenberg边界上的动力系统。
• 通过沿$ N $-轨道分解这些测度，分析矩阵系数的渐近行为。
• 利用BMS混合性及Patterson-Sullivan测度的平移，推导$ L^2(\Gamma\backslash G) $中的衰减速率。
• 利用$ G $的广义Cartan分解，参数化$ H\backslash G $中的轨道，并将其与$ \Gamma $的极限锥联系起来。
• 通过谱论与测度论技术，建立从$ \Gamma\backslash G $上的动力系统到$ H\backslash G $中计数的转移原理。
• 利用$ \mathfrak{a} = \mathfrak{b} $且$ \Lambda_\Gamma \subset HP/P $的事实，确保$ [e]H $上PS测度的均匀拟正则性与紧支集。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于极限锥$ \mathcal{L}_\Gamma $内部的哪些方向$ u $，矩阵系数$ \langle \exp(tu)f_1, f_2 \rangle $表现出非平凡的渐近衰减？
• RQ2 能否构造出高阶半单群中Burger-Roblin测度的高阶类比，以描述高阶群中矩阵系数的衰减？
• RQ3 在广义Cartan分解下，$ \Gamma $-轨道在仿射对称空间$ H\backslash G $中的精确渐近行为是什么？
• RQ4 如何通过混合性与测度论方法，建立$ \Gamma\backslash \Gamma H $在$ \Gamma\backslash G $中平移的等分布性？
• RQ5 在何种几何与动力学条件下，$ [e]H $上PS测度的支集保持紧致且具有正测度？

主要发现

• 对于极限锥$ \mathcal{L}_\Gamma $内部的任意$ u $，矩阵系数$ \langle \exp(tu)f_1, f_2 \rangle $渐近衰减为$ \Psi_{\Gamma,u}(t) \to \mu_u(f_1)\mu_u^*(f_2) $，其中$ \mu_u, \mu_u^* $为广义BR测度。
• 该渐近衰减由归一化函数$ \Psi_{\Gamma,u}(t) $控制，涉及通过极限集和$ P $-Anosov动力系统构造的Burger-Roblin测度的高阶类比。
• 建立了双曲面计数结果：在广义Cartan分解下，$ H\backslash G $中$ \Gamma $-轨道的数量渐近增长为$ e^{\delta_\Gamma T} $，其中$ \delta_\Gamma $为$ \Gamma $的临界指数。
• 当$ \mathfrak{a} = \mathfrak{b} $且$ \Lambda_\Gamma \subset HP/P $时，Patterson-Sullivan测度$ \mu_{[e]H}^{\operatorname{PS}} $在$ (H \cap \Gamma)\backslash H $中支集紧致且具有正质量。
• 在相同条件下，轨道$ [e]H $在$ \Gamma\backslash G $中具有均匀拟正则性，确保计数测度行为良好。
• 结果将Duke-Rudnick-Sarnak与Eskin-McMullen的计数定理推广至高阶群中的Anosov子群，且显式误差项被控制在$ O(e^{\delta' T}) $内，其中$ \delta' < \delta_\Gamma $。