[论文解读] Another approach to some rough and stochastic partial differential equations

Josef Teichmann|ArXiv.org|Aug 19, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文提出了一种名为‘移动框架法’的新方法，通过应用依赖于时间的变换，将巴拿赫空间中的随机偏微分方程（RPDEs/SPDEs）转化为时变随机微分方程（RDE），从而实现求解。主要贡献在于在一般群生成元和利普希茨条件下构造了唯一弱解，使得可通过粗糙路径理论实现高阶数值格式。

ABSTRACT

In this note we introduce a new approach to rough and stochastic partial differential equations (RPDEs and SPDEs): we consider general Banach spaces as state spaces and -- for the sake of simiplicity -- finite dimensional sources of noise, either rough or stochastic. By means of a time-dependent transformation of state space and rough path theory we are able to construct unique solutions of the respective R- and SPDEs. As a consequence of our construction we can apply the pool of results of rough path theory, in particular we obtain strong and weak numerical schemes of high order converging to the solution process.

研究动机与目标

• 为无限维巴拿赫空间中的随机与随机偏微分方程（RPDEs/SPDEs）建立新的解理论。
• 通过引入依赖于时间的坐标系变换，克服SPDE中正则性与积分方面的挑战。
• 将粗糙路径理论的应用范围扩展至具有无界生成元和非希尔伯特状态空间的SPDEs。
• 提供与经济上有意义的拓扑兼容的框架，例如在收益率曲线上使用加权W^{1,1}或C_0范数。
• 通过简化为时变RDE，实现高阶强解与弱解数值格式。

提出的方法

• 该方法应用一个依赖于时间的微分同胚（即‘移动框架’），将原始RPDE/SPDE转化为具有变换后向量场的时变RDE。
• 该变换利用无界漂移算子A生成的流，假设A在巴拿赫空间W上生成一个强连续群。
• 解构造为Y_t = Fl_t(U_t)，其中U_t满足一个变换后的RDE：dU_t = Σ_i DFl_{-t}f_i(Fl_t(U_t)) dX^i_t。
• 通过粗糙路径理论求解变换后的方程，依赖于[0,T] × W上变换后向量场的利普希茨正则性。
• 该方法利用通用极限定理与分段线性逼近的收敛性，建立在随机情形下收敛至斯特拉托诺维奇型积分的结果。
• 数值格式源自标准粗糙路径逼近，包括Wong-Zakai型收敛与具有显式收敛速率的N-欧拉格式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖随机积分的前提下，为巴拿赫空间中的SPDEs建立路径无关解理论？
• RQ2 如何将半群的生成元视为群，以在无限维空间中实现时间反演变换？
• RQ3 粗糙路径理论在具有无界线性算子和非希尔伯特状态空间的SPDEs中可应用到何种程度？
• RQ4 该方法能否为具有几何噪声与非马尔可夫结构的SPDEs提供高阶数值格式？
• RQ5 在布朗运动噪声情况下，移动框架方法是否能恢复已知的斯特拉托诺维奇型解？

主要发现

• 当A在巴拿赫空间W上生成强连续群，且f满足γ > 2的Lip(γ)条件时，形式为dY_t = AY_t dt + f(Y_t) dX_t的RPDE存在唯一弱解。
• 解Y_t通过移动框架变换构造为Y_t = Fl_t(U_t)，其中U_t是具有变换后向量场的时变RDE的解。
• 在布朗运动噪声下，解与斯特拉托诺维奇积分表述一致：l(Y_t) = l(P_t Y_0) + ∑_{i=0}^d ∫_0^t l(P_{t-s} f_i(Y_s)) ∘ dB^i_s。
• 布朗运动的分段线性逼近收敛至粗糙路径极限，确保在随机情形下解与斯特拉托诺维奇解释一致。
• 通过N-欧拉逼近与Wong-Zakai型收敛，获得高阶强数值格式，并在p-变差范数下给出显式收敛速率。
• 基于立方公式建立弱数值格式，并给出已知收敛速率，可推广至高斯粗糙路径。