[论文解读] Another elementary proof of $\: \sum_{n \ge 1}{1/{n^2}} = \pi^2/6\,$ and a recurrence formula for $\,\zeta{(2k)}$

F. M. S. Lima|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 1被引用 2

一句话总结

本文提出了一种初等证明，证明 ∑₁^∞ 1/n² = π²/6，采用基于 Dancs 和 He 方法的修改版级数展开技术。推导出 ζ(2k) 的递推公式，证明 ζ(2k)/π²ᵏ 为有理数，且不依赖欧拉公式或伯努利数。

ABSTRACT

In this shortnote, a series expansion technique introduced recently by Dancs and He for generating Euler-type formulae for odd zeta values $\:\zeta{(2 k +1)}$, $\zeta{(s)}$ being the Riemann zeta function and $k$ a positive integer, is modified in a manner to furnish the even zeta values $ \zeta{(2k)}$. As a result, I find an elementary proof of $\sum_{n=1}^\infty{{1/{n^2}}} = {\pi^2/6}$, as well as a recurrence formula for $\zeta{(2k)}$ from which it follows that the ratio ${\zeta{(2k)} / \pi^{2k}}$ is a rational number, without making use of Euler's formula and Bernoulli numbers.

研究动机与目标

• 提供 ∑₁^∞ 1/n² = π²/6 的初等证明，不使用复分析、傅里叶级数或多重积分。
• 通过 Dancs-He 级数展开技术的改进版本，推导出偶数 zeta 值 ζ(2k) 的递推公式。
• 证明对所有正整数 k，ζ(2k)/π²ᵏ 为有理数，且不依赖欧拉公式或伯努利数。
• 通过余弦函数的级数代换，将 Dancs-He 方法的应用范围从奇数 zeta 值扩展至偶数 zeta 值。

提出的方法

• 通过将 sin(nπ) 替换为 cos(nπ) = (−1)ⁿ，对 Dancs-He 级数展开技术进行改编，生成涉及偶数 zeta 值的级数。
• 定义辅助函数 f(u) = ∑₁^∞ (1/u)ⁿ / n²，并将 cos(nπ) 按 π 展开为泰勒级数，导出包含 φₘ(u) 的双重求和。
• 将内层求和表示为 φₘ(u) 的形式，其中负下标情形通过 φ₋ₘ(1) = 2(1 − 2¹⁻ᵐ)ζ(m) 与 ζ(m) 关联。
• 在 u → 1⁺ 时取极限，利用欧拉多项式 Eₘ(1) 的已知值，从结果表达式中提取 ζ(2)。
• 通过将指数 2 替换为 2k，将方法推广至更高阶的偶数 zeta 值，从而导出 ζ(2k) 的递推关系。
• 推导出包含 ζ(2m) 的有限求和与 π 的幂次的递推公式，其系数由阶乘和组合数项导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用傅里叶级数或复分析的前提下，构造出 ∑₁^∞ 1/n² = π²/6 的初等证明？
• RQ2 能否将 Dancs-He 级数方法适配以计算偶数 zeta 值 ζ(2k)，而不仅限于奇数 zeta 值？
• RQ3 所推导出的 ζ(2k) 递推公式是否意味着 ζ(2k)/π²ᵏ 为有理数，且不依赖欧拉公式或伯努利数？
• RQ4 余弦项 cos(nπ) = (−1)ⁿ 在将级数转化为仅含偶数 zeta 值的级数中起到什么作用？
• RQ5 欧拉多项式生成函数如何用于在 u → 1⁺ 的极限下，将 φₘ(u) 与 zeta 值关联？

主要发现

• 本文通过涉及 φ₋₂(1) 的级数展开的极限过程，确立了 ∑₁^∞ 1/n² = π²/6，简化后得到 ζ(2) = π²/6。
• 推导出 ζ(2k) 的递推公式：(4 − 4/2²ᵏ)ζ(2k) = ∑ₘ₌₁^{k−1} (−1)ᵏ⁻ᵐ⁺¹/(2k−2m)! (2 − 4/2²ᵐ)π²ᵏ⁻²ᵐζ(2m) − (−1)ᵏπ²ᵏ/(2k)!
• 当 k = 2 时，递推公式给出 ζ(4) = π⁴/90，与已知值一致，验证了公式的正确性。
• 通过数学归纳法证明，对所有正整数 k，ζ(2k)/π²ᵏ 为有理数，且不依赖欧拉公式或伯努利数。
• 该方法避免使用复分析、傅里叶级数和多重积分，仅依赖泰勒级数、富比尼定理及欧拉多项式性质。
• 证明递推公式与 ζ(2k)/π²ᵏ 为有理数等价，因为递推关系在有理系数下保持有理性，且通过归纳法成立。