[论文解读] Answering Conjunctive Queries with Inequalities

Paraschos Koutris, Tova Milo+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种新颖的 H-投影算子和基于查询计划的技术，可在多项式时间内评估带有不等式（≠）的连接查询（CQ），仅需对任何现有的 SPJ 查询计划进行查询相关的额外开销。其核心贡献在于提出了一种通用方法，当查询的分数顶点打包（fractional vertex packing）有界时，可确保组合复杂度为多项式时间；而当整数顶点打包无界时，可识别出 NP-难的情况。

ABSTRACT

In this parer, we study the complexity of answering conjunctive queries (CQ) with inequalities. In particular, we compare the complexity of the query with and without inequalities. The main contribution of our work is a novel combinatorial technique that enables the use of any Select-Project-Join query plan for a given CQ without inequalities in answering the CQ with inequalities, with an additional factor in running time that only depends on the query. To achieve this, we define a new projection operator that keeps a small representation (independent of the size of the database) of the set of input tuples that map to each tuple in the output of the projection; this representation is used to evaluate all the inequalities in the query. Second, we generalize a result by Papadimitriou-Yannakakis [PODS'97] and give an alternative algorithm based on the color-coding technique [Alon, Yuster and Zwick, PODS'02] to evaluate a CQ with inequalities by using an algorithm for the CQ without inequalities. Third, we investigate the structure of the query graph, inequality graph, and the augmented query graph with inequalities, and show that even if the query and the inequality graphs have bounded treewidth, the augmented graph not only can have an unbounded treewidth but can also be NP-hard to evaluate. Further, we illustrate classes of queries and inequalities where the augmented graphs have unbounded treewidth, but the CQ with inequalities can be evaluated in poly-time. Finally, we give necessary properties and sufficient properties that allow a class of CQs to have poly-time combined complexity with respect to any inequality pattern.

研究动机与目标

• 为解决在连接查询（CQ）中引入不等式后复杂度显著上升的问题，该问题可使组合复杂度从多项式时间跃升至 NP-难。
• 开发一种通用技术，将任何现有的无不等式连接查询的 Select-Project-Join（SPJ）查询计划，适配为可处理不等式的查询计划，仅引入与查询相关的额外时间开销。
• 基于查询及其不等式图的结构特性，对带有不等式的 CQ 进行分类，识别出组合复杂度保持多项式时间的类别。
• 识别出 CQ 带不等式时可高效评估的充分必要条件，特别关注查询图中的分数顶点打包和整数顶点打包。
• 将所提出的基于查询计划的方法与颜色编码法和代表性集合等替代技术进行比较，证明在某些情况下性能更优。

提出的方法

• 引入一种新型 H-投影算子，可对每个输出元组维护输入元组的紧凑、与大小无关的映射表示，从而实现不等式评估的高效性。
• 通过在投影步骤中引入 H-投影，将任何无不等式 CQ 的 SPJ 查询计划适配为可处理不等式的查询计划。
• 采用双重策略：基于查询计划的方法（具有有界开销）和针对固定参数可追踪情况的颜色编码算法。
• 利用最小分数边覆盖与最大分数顶点打包之间的对偶性，当后者有界时，推导出多项式时间评估方法。
• 应用组合技术（如代表性集合和颜色编码）来评估带有不等式的 CQ，尤其适用于有界树宽或无环结构的情况。
• 分析增强查询图（查询图 + 不等式）以表明，即使原始查询图和不等式图的树宽有界，增强图的树宽也可能无界，且其评估为 NP-难，说明树宽本身不足以保证可 tractability。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何无不等式 CQ 的 SPJ 查询计划是否可被适配以评估相同 CQ 的不等式版本，且仅引入与查询相关的额外时间开销？
• RQ2 CQ 及其不等式模式的哪些结构特性决定了其组合复杂度是否保持多项式时间？
• RQ3 是否存在一个关于带有不等式的 CQ 的二分法或分类，可将多项式时间可解的案例与 NP-难案例区分开来？
• RQ4 查询图、不等式图和增强图的树宽之间如何关联，以影响带有不等式的查询评估复杂度？
• RQ5 在某些查询类别中，所提出的 H-投影技术是否可在实际中优于颜色编码或代表性集合等现有方法？

主要发现

• 主要结果表明，任何无不等式 CQ 的 SPJ 查询计划均可被适配以评估相同 CQ 的不等式版本，其时间开销受仅依赖于查询和不等式模式的函数 g(q, I) 限制，与数据库大小无关。
• H-投影算子通过为每个输出元组维护与数据库大小无关的输入元组紧凑表示，实现了不等式的高效评估。
• 若布尔 CQ 的家族具有无界的整数顶点打包，则 (q, I) 的组合复杂度为 NP-难，该结论通过从 3-Coloring 问题的归约得以证明。
• 若 CQ 的家族具有有界的分数顶点打包，则对于任意不等式模式，(q, I) 均可在组合复杂度为多项式时间内评估，该结论利用了分数边覆盖与顶点打包之间的对偶性。
• 即使查询图和不等式图的树宽均有界，增强图（查询图 + 不等式）的树宽也可能无界，且其评估为 NP-难，这表明树宽本身不足以保证可 tractability。
• 所提出的基于查询计划的方法在特定情况下优于颜色编码等替代方法，尤其在分数顶点打包有界时，因其渐近开销更低。