[论文解读] Antimagic orientation of biregular bipartite graphs

Songling Shan, Xiaowei Yu|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文证明了每个双正则二分图都存在反魔力定向，支持了所有连通无向图都存在反魔力定向的猜想。作者通过结构化的边分解与标签分配构造有向标记，确保所有有向顶点和互不相同，利用2-因子、匹配以及基于区间的和分离性质，保证两部分顶点集中的和唯一性。

ABSTRACT

An antimagic labeling of a directed graph $D$ with $n$ vertices and $m$ arcs is a bijection from the set of arcs of $D$ to the integers $\{1, \cdots, m\}$ such that all $n$ oriented vertex sums are pairwise distinct, where an oriented vertex sum is the sum of labels of all arcs entering that vertex minus the sum of labels of all arcs leaving it. An undirected graph $G$ is said to have an antimagic orientation if $G$ has an orientation which admits an antimagic labeling. Hefetz, M{ü}tze, and Schwartz conjectured that every connected undirected graph admits an antimagic orientation. In this paper, we support this conjecture by proving that every biregular bipartite graph admits an antimagic orientation.

研究动机与目标

• 支持所有连通无向图都存在反魔力定向的猜想。
• 确立双正则二分图——即每个性质集中顶点具有统一度数的图——存在反魔力定向。
• 通过精心分配边标签并定向边，为这类图构造显式的反魔力标记，以确保有向顶点和互不相同。
• 将先前关于正则图的反魔力标记结果推广至更广泛的双正则二分图类别。

提出的方法

• 作者将反魔力定向定义为一种有向图标记，其每个顶点的有向顶点和（即进入弧的标签之和减去离开弧的标签之和）互不相同。
• 他们将图分解为一个2-正则子图F和剩余子图H，利用2-因子分解和匹配理论来管理标签分配。
• 边标签按区间分配：H分配[1, 2m]，F分配[2m+1, 4m]，以确保标签双射性与和的分离。
• 每个顶点的有向顶点和由H和F的贡献之和构成，通过区间重叠分析与差值界限确保和的唯一性。
• 证明使用引理2.1（二分图中的匹配）和引理2.4（2-正则图中的和唯一性）来保证标签与和的唯一性。
• 通过分析度数为2的顶点上的标签对，并结合区间算术，作者证明X与Y两部分顶点集中的顶点和彼此互不相同，且在两部分之间无重叠。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个双正则二分图是否都存在反魔力定向？
• RQ2 能否通过结构化的边分解与标签分配，为这类图构造出反魔力标记？
• RQ3 在所得定向中，所有顶点的有向顶点和是否保证两两不同？
• RQ4 能否使两部分顶点集中顶点和的范围互不相交，以避免冲突？

主要发现

• 每个双正则二分图都存在反魔力定向，证实了该类图的猜想。
• X部分顶点集中所有有向顶点和互不相同，其差值为0或至少为4m+2。
• Y部分顶点集中的有向顶点和全部落在互不相交的区间内：[2h+2, 6h]、[8h+2, 2(s−2)m−4h+2q]、[2(s−2)m+3−2h+4q, 2(s−2)m+2h−1] 以及 [2(s−2)m+3, 2sm−1]。
• X中总和为负，Y中总和为正，确保X与Y之间无和重叠。
• 该构造通过区间分离与基于顶点度数及出现次数的受控差值，确保F与H中标签分配产生不同的和。
• 该证明对最小度数s ≥ 6的所有双正则二分图成立，并通过案例分析扩展至s = 4和s = 5的情形。