[论文解读] Aperiodic order, integrated density of states and the continuous algebras of John von Neumann

Gábor Elek|ArXiv.org|Jun 26, 2006

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文通过利用古德雷尔对冯·诺伊曼秩环的推广所构建的连续代数，建立了具有准周期序的算子（如随机薛定谔算子、渗滤哈密顿算符以及自相似图上的模式不变算子）的统一谱收敛性。关键贡献在于，利用这些代数中的度量完备性与秩函数连续性，证明了谱分布函数一致收敛于一个极限的态密度函数。

ABSTRACT

Lenz and Stollmann recently proved the existence of the integrated density of states in the sense of uniform convergence of the distributions for certain operators with aperiodic order. The goal of this paper is to establish a relation between aperiodic order, uniform spectral convergence and the continuous algebras invented by John von Neumann. We illustrate the technique by proving the uniform spectral convergence for random Schodinger operators on lattices with finite site probabilities, percolation Hamiltonians and for the pattern-invariant operators of self-similar graphs.

研究动机与目标

• 建立具有准周期序的算子的态密度函数的统一谱收敛性。
• 通过古德雷尔对冯·诺伊曼秩环的推广，将准周期序与谱收敛性联系到连续代数。
• 将谱收敛的框架扩展至随机薛定谔算子、渗滤哈密顿算符以及自相似图上的模式不变算子。
• 为统一收敛意义下的态密度函数的存在性提供环论基础。

提出的方法

• 利用古德雷尔构造的连续正规环，作为具有相容同态与权系统的矩阵代数的归纳极限。
• 在归纳极限环上定义满足度量与序性质的归一化秩函数，从而实现完备度量空间结构。
• 应用谱函数在完备化连续代数中的一致收敛下的连续性，以确保谱分布的一致收敛。
• 为自相似图与模式不变算子构造布拉特eli图，以建模归纳极限系统及其关联的秩函数。
• 将该框架应用于三类算子：具有有限位点概率的随机薛定谔算子、渗滤哈密顿算符以及自相似图算子。
• 在可乘图中利用F {ø}lner序列定义截断算子及其归一化谱分布函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有限位点概率的格点上的随机薛定谔算子，其态密度函数的统一谱收敛性是否成立？
• RQ2 能否在非周期图上的渗滤哈密顿算子中建立统一谱收敛性？
• RQ3 对于自相似图上的模式不变算子，统一谱收敛性是否成立？
• RQ4 古德雷尔与冯·诺伊曼的连续代数框架能否用于证明谱分布的一致收敛？
• RQ5 在何种图论条件下，态密度函数能对所有F {ø}lner序列一致存在？

主要发现

• 已确立具有有限位点概率的格点上随机薛定谔算子的态密度函数的统一谱收敛性。
• 该方法通过连续代数框架证明了非周期图上渗滤哈密顿算子的统一谱收敛性。
• 对于自相似图，模式不变算子的谱分布函数一致收敛于一个极限函数，证实了统一谱收敛性。
• 该证明依赖于完备化连续正规环中谱函数在一致收敛下的连续性，这源于度量完备性与秩函数的性质。
• 该框架通过相同的环论机制适用于全部三类算子，展示了其广泛适用性。
• 在抽象准晶体图中，统一意义下的态密度函数的存在性得到确认，扩展了先前的弱收敛结果。