[论文解读] Applications of Rewriting Systems and Groebner Bases to Computing Kan Extensions and Identities Among Relations

Anne Heyworth|ArXiv.org|Dec 17, 1998

semigroups and automata theory参考文献 46被引用 10

一句话总结

本文提出了一种计算框架，结合重写系统与格罗布纳基，以算法方式计算群论中的凯恩扩张与关系之间的恒等式。该研究证明了knuth-bendix过程是buchberger算法的一个特例，通过petri网实现基于自动机的约化机器，并应用群重写系统的完备化来计算生成关系之间的同伦收缩——将最后一步简化为格罗布纳基问题，所有完整算法均在gap3中实现。

ABSTRACT

This thesis concentrates on the development and application of rewriting and Groebner basis methods to a range of combinatorial problems. Chapter Two contains the most important result, which is the application of Knuth-Bendix procedures to Kan extensions, showing how rewriting provides a useful method for attempting to solve a variety of combinatorial problems which can be phrased in terms of Kan extensions. Chapter Three shows that the standard Knuth-Bendix algorithm is step-for-step a special case of Buchberger's algorithm. The one-sided cases and higher dimensions are considered. Chapter Four relates rewrite systems, Groebner bases and automata. Automata which only accept irreducibles, and automata which output reduced forms are discussed for presentations of Kan extensions. Reduction machines for rewrite systems are identified with standard output automata and the reduction machines devised for algebras are expressed as Petri nets. Chapter Five uses the completion of a group rewriting system to algorithmically determine a contracting homotopy necessary in order to compute the set of generators for the module of identities among relations using the covering groupoid methods devised by Brown and Razak Salleh. Reducing the resulting set of submodule generators is identified as a Groebner basis problem. Algorithms are implemented in GAP3.

研究动机与目标

• 开发基于重写系统与格罗布纳基的算法方法，用于计算凯恩扩张。
• 建立knuth-bendix完备化过程与格罗布纳基的buchberger算法之间的正式联系。
• 通过自动机与petri网建模并实现重写系统中的约化过程。
• 利用重写系统完备化计算群表示中关系之间的同伦收缩。
• 将群表示中关系恒等式的计算简化为格罗布纳基问题，实现算法化。

提出的方法

• 将knuth-bendix完备化过程应用于表示凯恩扩张的重写系统。
• 证明knuth-bendix算法在单边及高维设置下是buchberger算法的一个特例。
• 构建接受不可约项并输出约化形式的自动机，用于凯恩扩张表示。
• 将重写系统的约化机器表示为标准输出自动机，并以petri网建模。
• 利用群重写系统完备化推导出计算关系之间恒等式所必需的同伦收缩。
• 使用格罗布纳基技术将所得子模生成元集约化为最小形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地应用重写系统来计算范畴论中的凯恩扩张？
• RQ2 knuth-bendix完备化过程与格罗布纳基的buchberger算法在何种意义上是等价的？
• RQ3 如何利用自动机与petri网来建模并实现重写系统中的约化过程？
• RQ4 同伦收缩在计算关系之间恒等式中起什么作用，如何实现其算法推导？
• RQ5 群表示中关系恒等式的计算能否被简化为格罗布纳基问题？

主要发现

• 正式证明knuth-bendix过程是buchberger算法的一个特例，建立了项重写与格罗布纳基计算之间的深层理论联系。
• 为凯恩扩张表示构建了接受不可约项并输出约化形式的自动机，实现了有效计算。
• 将重写系统的约化机器建模为petri网，提供了计算过程的正式且可执行的表示。
• 群重写系统的完备化产生同伦收缩，这是计算关系之间恒等式模的重要组成部分。
• 识别出关系恒等式子模生成元集约化的最后一步为格罗布纳基问题，可算法求解。
• 所有提出的算法均在gap3计算代数系统中实现，证明了其实际可行性。