[论文解读] Applications of the duality between the Complex Monge-Ampère Equation and the Hele-Shaw flow

Julius Ross, David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了全纯复 Monge-Ampère 方程（HCMA）与 Hele-Shaw 流之间对偶性的两个应用。首先，它在 $\mathbb{P}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$ 上构造了光滑边界数据，使得 HCMA 的弱解在指定的有限个点集或 $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$ 的余维一子集上不是二阶可微的。其次，利用这一对偶性，通过一族单调递增、光滑变化的单连通区域，显式构造了 $\mathbb{P}^1$ 和 $\mathbb{D}$ 上凯勒度量空间中的光滑测地线射线。

ABSTRACT

We give two applications of the the duality between the complex Homogeneous Monge-Ampère Equation (HMAE) and the Hele-Shaw flow. First, we prove existence of smooth boundary data for which the weak solution to the Dirichlet problem for the HMAE over $\mathbb P^1 imes \overline{\mathbb D}$ is not twice differentiable at a given collection of points, and also examples that are not twice differentiable along a set of codimension one in $\mathbb{P}^1 imes \partial \mathbb{D}$. Second, we produce explicit families of smooth geodesic rays in the space of Kähler metrics on $\mathbb P^1$ and on the unit disc $\mathbb D$ that are constructed from an exhausting family of increasing smoothly varying simply connected domains.

研究动机与目标

• 证明在 $\mathbb{P}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$ 上，HCMA 的弱解可在指定的有限个点集或边界余维一子集上不具有 $C^2$ 光滑性。
• 利用 HCMA 与 Hele-Shaw 流的对偶性，显式构造 $\mathbb{P}^1$ 和 $\mathbb{D}$ 上凯勒度量空间中的光滑测地线射线族。
• 提供一种通过边界数据与区域演化来控制 HCMA 解中奇点位置与结构的方法。
• 将 Mabuchi 空间中凯勒势的测地线段与射线的正则性失效现象的理解，从孤立奇点推广至更一般情形。

提出的方法

• 利用先前工作中建立的 HCMA 与 Hele-Shaw 流之间的对偶性，通过 Hele-Shaw 流的自由边界动力学分析 HCMA 解的奇点。
• 将弱解 $\Phi$ 构造为满足边界约束 $\Phi(z,\tau) = \phi(\tau z)$ 的 $\omega$-拟凸函数的上包络，其中 $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$ 上定义。
• 利用子水平集 $\Omega_t = \{z : \psi_t(z) < \phi(z)\}$ 定义 Hele-Shaw 流，其中 $\psi_t$ 是在原点具有指定 Lelong 阶的 $\omega$-拟凸函数的上确界。
• 应用椭圆正则性理论，证明调和延拓在时变区域 $\Omega_t$ 的边界上关于时间具有光滑依赖性。
• 对 $\Omega_t$ 上拉普拉斯方程的解使用 $t$ 的摄动展开，利用一致椭圆性与 $C^k$-有界性证明解在时间上光滑。
• 通过 Dirichlet 问题解的调和共轭构造 Riemann 映射 $f_t: \mathbb{D} \to \Omega_t$，确保其关于 $t$ 光滑。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{P}^1 \times \overline{\mathbb{D}}$ 上构造光滑边界数据，使得 HCMA 的弱解在指定的有限个点集上不是 $C^2$ 光滑的？
• RQ2 HCMA 解的奇点集能否包含 $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$ 的余维一子集？若能，其边界数据需满足何种条件？
• RQ3 HCMA 与 Hele-Shaw 流的对偶性能否用于显式构造 $\mathbb{P}^1$ 和 $\mathbb{D}$ 上凯勒度量空间中的光滑测地线射线？
• RQ4 复平面上单连通区域 $\Omega_t$ 的光滑变化如何影响相关调和函数与全纯函数的正则性？

主要发现

• 对于任意有限个点集或 $\mathbb{P}^1 \setminus \{0\}$ 中互不相交的光滑曲线段 $S$，存在一个光滑凯勒势 $\phi$，使得 HCMA 的弱解 $\Phi$ 在形如 $(\tau^{-1}z, \tau)$ 的点上（其中 $z \in S$ 且 $|\tau| = 1$）不是二阶可微的。
• 本文构造了例子，表明解 $\Phi$ 在 $\mathbb{P}^1 \times \partial\mathbb{D}$ 的余维一子集上不具有 $C^2$ 光滑性，证明奇点不一定是孤立的。
• 从一族单调递增、光滑变化的单连通区域出发，显式构造了 $\mathbb{P}^1$ 和 $\mathbb{D}$ 上凯勒度量空间中的光滑测地线射线族。
• 当 $\Omega_t$ 包含原点且关于 $t$ 光滑变化时，求解 $\Delta p_t = -\delta_0$ 且 $p_t|_{\partial\Omega_t} = 0$ 的压强函数 $p_t$ 关于 $t$ 光滑变化。
• $\partial\Omega_t$ 上的梯度 $\nabla p_t$ 是 $\bigcup_{t} \partial\Omega_t$ 上的光滑向量场，这对构造测地线射线至关重要。
• Riemann 映射 $f_t: \mathbb{D} \to \Omega_t$ 关于 $t$ 光滑变化，其构造基于 $\Omega_t$ 上 Dirichlet 问题解的调和共轭，确保了测地线射线构造的光滑性。