[论文解读] Approximability for Lagrangian submanifolds

Giovanni Ambrosioni, Paul Biran+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2026

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 0

一句话总结

本文提出了度量空间的范畴（范畴度量）可近似性，并证明在谱度量下，若干类拉格朗日子多样体在三角持久性 Fukaya-范畴环境中是可近似的。它还表明这些空间未必是全界限的，并推导出几何后果。

ABSTRACT

This paper introduces a notion of categorical approximability for metric spaces that can be viewed as a categorification of approximability for metric groups, as defined by Turing in 1938. Approximability as introduced here is a property of metric spaces that is more general than precompactness. It is shown that several classes of Lagrangian submanifolds - closed Lagrangian submanifolds in a cotangent disk bundle; equators on the sphere; weakly exact Lagrangians on the torus-endowed with the spectral metric are approximable in this sense. Among other geometric applications, we show that there are such examples of spaces of Lagrangians that are approximable but are not precompact.

研究动机与目标

• 定义 metric spaces 的范畴化度量近似性，并将其与三角持 persistence 分类相关联。
• 在对称几何中使用 filtered/Fukaya-范畴工具，为关键拉格朗日类建立可近似性。
• 发展基于持 persistence 的 Abouzaid 的分裂生成与 Hochschild 理论变体，以支持可近似性结果。
• 推导几何后果，如非全有界性，以及对 Gromov 宽度与复杂性的含义。
• 提供一个将辛刚性与范畴复杂性概念联系起来的框架。

提出的方法

• 在三角化范畴中引入并形式化“范畴化的度量 ε-近似空间”概念。
• 使用三角持 persistence 分类（TPC）及 Fukaya 范畴的 TPC 改进来实现 ε-近似族。
• 应用 Giroux 的 Lefschetz fibration 构造和 Morse 函数技巧，在共锥丛 bundles 中生成 ε-近似。
• 开发 Abouzaid 分裂原理、Hochschild（共）同调与 open-closed 映射的持 persistence 版本。
• 定义并利用与 TPC 近似族相关的 ε-复杂度度量（锥长度、加权熵）。
• 通过紧致性与持 persistence 論证，将 ε-近似性与 Gromov 宽度及几何密度结果联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称几何相关的 metric spaces，鲁棒的范畴化度量近似性是什么？
• RQ2 在哪些自然的拉格朗日类下，在谱度量下具备 TPC（三角Persistence 分类）近似性？
• RQ3 如何利用持 persistence Fukaya 分类与 filtered A∞-分类来证明近似性？
• RQ4 近似性对拉格朗日空间的几何含义（如非全有界性、Gromov 宽度界限）是什么？
• RQ5 在 Floer 理论背景下，近似性如何与锥长度、熵等复杂性度量相关？

主要发现

• 单位共锥盘 Bundles 中的闭合、精确拉格朗日子流形是 TPC 近似的。
• S^2 上的赤道是 TPC 可收缩近似的。
• T^2 上的非可缩拉格朗日是 TPC 可收缩近似的。
• 在若干自然情形下，带谱度量的拉格朗日空间并非全有界。
• 近似性对 Gromov 宽度相对于近似族给出上界，并与 Floer/持 Persistence 条码及熵概念相关。
• 该框架提供一种通过 ε-近似族来测量和界定拉格朗日的复杂性的方法。