[论文解读] Approximability of all finite CSPs in the dynamic streaming setting

Chi-Ning Chou, Alexander Golovnev+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文在动态流模型中为所有有限约束满足问题（CSPs）的可近似性建立了二分法，表明对于任意约束族 F 和近似参数 γ > β，该问题要么可用多对数空间求解，要么需要 ω(√n) 空间。该工作将先前关于布尔CSPs的研究结果扩展到一般有限域和约束族，利用先进的范数估计和新颖的通信复杂性归约。

ABSTRACT

A constraint satisfaction problem (CSP), Max-CSP$({\cal F})$, is specified by a finite set of constraints ${\cal F} \subseteq \{[q]^k o \{0,1\}\}$ for positive integers $q$ and $k$. An instance of the problem on $n$ variables is given by $m$ applications of constraints from ${\cal F}$ to subsequences of the $n$ variables, and the goal is to find an assignment to the variables that satisfies the maximum number of constraints. In the $(\gamma,\beta)$-approximation version of the problem for parameters $0 \leq \beta < \gamma \leq 1$, the goal is to distinguish instances where at least $\gamma$ fraction of the constraints can be satisfied from instances where at most $\beta$ fraction of the constraints can be satisfied. In this work we consider the approximability of this problem in the context of streaming algorithms and give a dichotomy result in the dynamic setting, where constraints can be inserted or deleted. Specifically, for every family ${\cal F}$ and every $\beta < \gamma$, we show that either the approximation problem is solvable with polylogarithmic space in the dynamic setting, or not solvable with $o(\sqrt{n})$ space. We also establish tight inapproximability results for a broad subclass in the streaming insertion-only setting. Our work builds on, and significantly extends previous work by the authors who consider the special case of Boolean variables ($q=2$), singleton families ($|{\cal F}| = 1$) and where constraints may be placed on variables or their negations. Our framework extends non-trivially the previous work allowing us to appeal to richer norm estimation algorithms to get our algorithmic results. For our negative results we introduce new variants of the communication problems studied in the previous work, build new reductions for these problems, and extend the technical parts of previous works.

研究动机与目标

• 确定在动态流模型中近似所有有限约束满足问题（CSPs）的空间复杂度。
• 将先前针对单元素约束族的布尔CSPs研究扩展到一般有限域和任意约束族。
• 对可近似性进行完整分类，划分为多对数空间可解或 Ω(√n) 空间不可行。
• 为插入仅流模型中的一个广泛子类提供紧致的不可近似性结果。

提出的方法

• 基于丰富的范数估计算法开发框架，以实现对某些CSP族的多对数空间近似。
• 引入通信问题的新变体，以建模流环境中近似困难的特性。
• 从这些通信问题构造新颖的归约以应用于CSP近似，将先前的归约扩展至一般CSPs。
• 运用通信复杂性中的高级技术，证明不可近似情况下的强空间下界。
• 利用约束族的结构特性，根据空间复杂度将其分类为可解或不可解类别。
• 将先前关于布尔变量和单元素族的结果扩展至任意有限域和一般约束集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意有限约束族 F 和近似参数 γ > β，动态流模型中 Max-CSP(F) 的 (γ, β)-近似是否可用多对数空间求解？
• RQ2 在动态设置中，CSP近似在多对数空间可解与 ω(√n) 空间不可行之间的边界由什么特征决定？
• RQ3 能否为插入仅流模型中CSP的一个广泛子类建立紧致的不可近似性结果？
• RQ4 范数估计技术如何扩展以支持一般CSPs（超越布尔情形）的算法结果？
• RQ5 为证明一般CSPs的强下界，需要引入哪些新的通信复杂性问题和归约？

主要发现

• 对于每个约束族 F 和参数 β < γ，动态流模型中 Max-CSP(F) 的 (γ, β)-近似要么可用多对数空间求解，要么需要 ω(√n) 空间。
• 本文建立了完整的二分法：此类问题在多对数空间与 ω(√n) 空间之间不存在中间空间复杂度。
• 为插入仅流模型中一个广泛子类的CSPs证明了紧致的不可近似性结果。
• 该框架将先前关于布尔CSPs与单元素族的工作推广至任意有限域和一般约束集合。
• 引入了新的通信问题变体和归约，使更强的下界得以实现，突破了先前的技术限制。
• 结果表明，范数估计技术可非平凡地扩展，以支持流环境中一般CSPs的算法解法。