[论文解读] Approximate Circular Pattern Matching Under Edit Distance

Panagiotis Charalampopoulos, Solon P. Pissis+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Algorithms and Data Compression被引用 1

一句话总结

该论文首次提出了在编辑距离下解决 k-Edit Circular Pattern Matching 问题的 O(n + (n/m)·poly(k)) 时间算法，在 m = Ω(k⁶) 时达到 O(n) 时间复杂度。通过利用近似循环匹配的结构性质——要么形成 O(k⁴) 个区间，要么表现出近乎周期性模式——该方法采用锁定片段分析技术处理复杂情形，显著优于以往针对大 m 相对于 k 的 O(nk²) 和 O(nk log³k) 解决方案。

ABSTRACT

In the $k$-Edit Circular Pattern Matching ($k$-Edit CPM) problem, we are given a length-$n$ text $T$, a length-$m$ pattern $P$, and a positive integer threshold $k$, and we are to report all starting positions of the substrings of $T$ that are at edit distance at most $k$ from some cyclic rotation of $P$. In the decision version of the problem, we are to check if any such substring exists. Very recently, Charalampopoulos et al. [ESA 2022] presented $O(nk^2)$-time and $O(nk \log^3 k)$-time solutions for the reporting and decision versions of $k$-Edit CPM, respectively. Here, we show that the reporting and decision versions of $k$-Edit CPM can be solved in $O(n+(n/m) k^6)$ time and $O(n+(n/m) k^5 \log^3 k)$ time, respectively, thus obtaining the first algorithms with a complexity of the type $O(n+(n/m) \mathrm{poly}(k))$ for this problem. Notably, our algorithms run in $O(n)$ time when $m=Ω(k^6)$ and are superior to the previous respective solutions when $m=ω(k^4)$. We provide a meta-algorithm that yields efficient algorithms in several other interesting settings, such as when the strings are given in a compressed form (as straight-line programs), when the strings are dynamic, or when we have a quantum computer. We obtain our solutions by exploiting the structure of approximate circular occurrences of $P$ in $T$, when $T$ is relatively short w.r.t. $P$. Roughly speaking, either the starting positions of approximate occurrences of rotations of $P$ form $O(k^4)$ intervals that can be computed efficiently, or some rotation of $P$ is almost periodic (is at a small edit distance from a string with small period). Dealing with the almost periodic case is the most technically demanding part of this work; we tackle it using properties of locked fragments (originating from [Cole and Hariharan, SICOMP 2002]).

研究动机与目标

• 开发在编辑距离下更快的近似循环模式匹配算法，尤其当模式相对于误差阈值 k 较长时。
• 通过实现依赖于 (n/m)·poly(k) 的时间复杂度，克服先前 O(nk²) 和 O(nk log³k) 解决方案的局限性，当 m 较大时实现 n 的次线性时间复杂度。
• 利用字符串组合学中的高级技术，高效检测并处理模式的某次旋转近乎周期性（即与小周期字符串的编辑距离较小）的情形。
• 将该算法框架扩展至动态、压缩（SLP）和量子计算环境，展示其广泛适用性。

提出的方法

• 该算法将解空间划分为两种情形：近似循环匹配形成 O(k⁴) 个区间，可高效计算；或模式近乎周期性。
• 对于近乎周期性的情形，该方法利用锁定片段的性质——最初由 Cole 和 Hariharan 提出——以检测并处理与周期性字符串编辑距离较小的字符串。
• 设计了一种元算法，统一适用于不同计算模型的解决方案，包括动态字符串、压缩字符串（SLP）和量子计算。
• 在动态设置中，该方法利用基于 PILLAR 的数据结构，维护持久字符串，支持高效的串接、分割和字符串创建操作。
• 对于压缩字符串（SLP），该算法利用 SLP 特有的操作，在无需解压缩字符串的情况下计算编辑距离，实现在未压缩大小上的次线性时间复杂度。
• 在量子模型中，该方法利用量子加速技术处理 LCP 和模式匹配查询，将每次操作的查询时间降低至 Õ(√n)。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否实现 O(n + (n/m)·poly(k)) 时间复杂度的 k-Edit CPM 算法，从而在时间复杂度上优于先前的 O(nk²) 和 O(nk log³k) 方法？
• RQ2 近似循环匹配的哪些结构性质使得我们可以将问题分解为可高效求解的子问题？
• RQ3 如何高效检测并处理模式的某次旋转近乎周期性（即与周期性字符串编辑距离较小）的情形？
• RQ4 该算法框架能否扩展至动态字符串、压缩字符串（SLP）和量子计算模型，并实现可证明的效率提升？

主要发现

• k-Edit CPM 的报告版本可在 O(n + (n/m)·k⁶) 时间内求解，当 m = Ω(k⁶) 时达到最优，此时时间复杂度为 O(n)。
• 决策版本的运行时间为 O(n + (n/m)·k⁵ log³k)，当 m = ω(k⁴) 时，优于先前的 O(nk log³k) 解决方案。
• 近乎周期性情形通过锁定片段分析处理，这是技术上较为复杂的组成部分，也是整体效率提升的关键。
• 在动态设置中，该算法支持更新操作在 O(log N + |U|) 时间内完成，查询操作在 O(log N) 时间内完成，k-Edit CPM 的报告版本可在 O((|T|/|P|)·k⁶ log²N) 时间内求解。
• 对于 SLP 压缩字符串，该算法运行时间为 O(m log N + n k⁶ log²N log log N)，避免了完整解压缩。
• 在量子模型中，报告版本和决策版本的运行时间分别为 Õ((n/√m)·k⁶) 和 Õ((n/√m)·k⁵)，利用了 LCP 和模式匹配的量子加速。