[论文解读] Approximate controllability for a 2D Grushin equation with potential having an internal singularity

Morgan Morancey|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 20被引用 14

一句话总结

本论文通过构造奇异算子的自伴扩张（利用跨奇点的传输条件）并利用傅里叶分解与Carleman估计证明唯一延续性，建立了具有内部反平方奇点及在 $x=0$ 处退化的二维Grushin方程的近似可控性。关键结果为：对所有 $c \in (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$，近似可控性成立，填补了奇异Grushin设定下Hardy不等式有效性范围与算子本质自伴性之间的空白。

ABSTRACT

This paper is dedicated to approximate controllability for Grushin equation on the rectangle $(x,y) \\in (-1,1) \ imes (0,1)$ with an inverse square potential. This model corresponds to the heat equation for the Laplace-Beltrami operator associated to the Grushin metric on $\\mathbb{R}^2$, studied by Boscain and Laurent. The operator is both degenerate and singular on the line $\\{ x=0 \\}$. The approximate controllability is studied through unique continuation of the adjoint system. For the range of singularity under study, approximate controllability is proved to hold whatever the degeneracy is. Due to the internal inverse square singularity, a key point in this work is the study of well-posedness. An extension of the singular operator is designed imposing suitable transmission conditions through the singularity. Then, unique continuation relies on the Fourier decomposition of the 2D solution in one variable and Carleman estimates for the 1D heat equation solved by the Fourier components. The Carleman estimate uses a suitable Hardy inequality.

研究动机与目标

• 建立具有在 $\{x=0\}$ 处退化及内部反平方奇点的二维Grushin方程的近似可控性。
• 通过在奇点处施加特定传输条件，构造奇异算子的合适自伴扩张，以解决方程的适定性问题。
• 利用傅里叶分解与一维Carleman估计，证明伴随系统的唯一延续性。
• 证明对所有 $c \in (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$，近似可控性成立，排除临界Hardy情形 $c = -\frac{1}{4}$。

提出的方法

• 通过在 $y$-变量上进行傅里叶分解，将问题约化为具有边界反平方奇点的一维伴随系统。
• 通过在 $x=0$ 处施加特定传输条件，构造奇异算子的自伴扩张，确保连续半群的生成。
• 为带奇异势的1D热方程推导Carleman估计，依赖于一种Hardy型不等式以控制奇异项 $\frac{z^2}{x^2}$。
• Carleman估计中的权函数被选为凹且递增的函数，以主导奇异导数项与边界项，利用条件 $z_x(t,0) = 0$。
• Carleman估计的证明采用分部积分与能量估计，主导项为 $R^3$ 以确保强制性。
• 一维系统的唯一延续性性质通过对偶性推出二维系统的近似可控性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有内部反平方奇点及在 $x=0$ 处退化的二维Grushin方程，近似可控性是否成立？
• RQ2 应如何扩展奇异算子以确保适定性与可控性？
• RQ3 当势函数奇异且算子退化时，能否为伴随系统建立唯一延续性？
• RQ4 奇异系数 $c$ 的取值范围为何，使得近似可控性得以保持？其与Hardy不等式及自伴扩张的关系如何？
• RQ5 能否构造出可同时处理奇异势与退化的Carleman估计，特别是当奇异部分无法通过分部积分处理时？

主要发现

• 对所有 $c \in (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$，近似可控性成立，证明该性质即使在算子非本质自伴时依然有效。
• 通过在 $x=0$ 处通过传输条件定义的奇异Grushin算子的自伴扩张，确立了方程的适定性。
• 利用傅里叶分解与带奇异势的一维问题的新Carleman估计，证明了伴随系统的唯一延续性。
• Carleman估计通过精心选择的凹且递增的权函数构造，可有效控制奇异导数项与边界项。
• 该估计依赖于Hardy不等式，并因额外条件 $z_x(t,0) = 0$ 而成立，该条件对处理奇异项 $\frac{z^2}{x^4}$ 至关重要。
• 该结果填补了Hardy不等式成立范围（$c \geq -\frac{1}{4}$）与算子本质自伴性范围（$c \geq \frac{3}{4}$）之间的空白，表明可控性在中间范围内依然成立。