[论文解读] Approximate orthogonality of powers for ergodic affine unipotent diffeomorphisms on nilmanifolds

Livio Flaminio, Krzysztof Frączek+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Geometry and complex manifolds被引用 11

一句话总结

本文证明了在尼尔流形上的遍历仿射单群微分同胚满足渐近正交幂（AOP）性质，该性质意味着在所有唯一遍历模型及典型短区间上具有Möbius正交性。关键结果是通过尼尔李群的结构分析与不变测度，证明了此类系统满足AOP性质，从而将Möbius正交性推广至尼尔序列与尼尔平移。

ABSTRACT

Let $ G $ be a connected, simply connected nilpotent Lie group and $ \\Gamma < G $ a lattice. We prove that each ergodic diffeomorphism $ \\phi(x\\Gamma)=uA(x)\\Gamma $ on the nilmanifold $ G/\\Gamma $, where $ u\\in G $ and $ A:G\ o G $ is a unipotent automorphism satisfying $ A(\\Gamma)=\\Gamma $, enjoys the property of asymptotically orthogonal powers (AOP). Two consequences follow: (i) Sarnak's conjecture on M\\"obius orthogonality holds in every uniquely ergodic model of an ergodic affine unipotent diffeomorphism; (ii) For ergodic affine unipotent diffeomorphisms themselves, the M\\"obius orthogonality holds on so called typical short interval: $ \\frac1 M\\sum_{M\\leq m<2M}\\left|\\frac1H\\sum_{m\\leq n<m+H} f(\\phi^n(x\\Gamma))\\mu (n)\ ight|\ o 0$ as $ H\ o\\infty $ and $ H/M\ o0 $ for each $ x\\Gamma\\in G/\\Gamma $ and each $ f\\in C(G/\\Gamma) $. In particular, the results in (i) and (ii) hold for ergodic nil-translations. Moreover, we prove that each nilsequence is orthogonal to the M\\"obius function $\\mu$ on a typical short interval. We also study the problem of lifting of the AOP property to induced actions and derive some applications on uniform distribution.

研究动机与目标

• 建立在尼尔流形上遍历仿射单群微分同胚的渐近正交幂（AOP）性质。
• 证明此类系统的所有唯一遍历模型中，Sarnak关于Möbius正交性的猜想成立。
• 证明这些动力系统在典型短区间上的Möbius正交性。
• 将AOP性质推广至尼尔序列与尼尔平移，并研究AOP在诱导作用中的提升。
• 为幂零群动力系统中的均匀分布与不变测度理论提供应用。

提出的方法

• 分析仿射单群微分同胚 φ(xΓ) = uA(x)Γ 在 G/Γ 上的动力学，其中 G 是单连通幂零李群，Γ 是格子。
• 利用幂零李代数的结构与最小生成集，研究保持格子 Γ 的单群自同构 A 的作用。
• 应用系统幂之间的拼接理论，通过拼接集到乘积测度的Hausdorff距离来验证AOP性质。
• 采用悬垂构造与范畴论推理，将基系统动力学与诱导作用联系起来。
• 利用单群作用与群扩张的不变测度理论，将AOP性质提升至更一般系统。
• 运用李代数技术，包括迭代李括张与商代数，证明 k 重李括张生成第 k 个导出代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在尼尔流形上的遍历仿射单群微分同胚是否满足渐近正交幂（AOP）性质？
• RQ2 AOP性质是否意味着此类系统在所有唯一遍历模型中具有Möbius正交性？
• RQ3 对于这些微分同胚，Möbius正交性是否在典型短区间上成立，其中 H→∞ 且 H/M→0？
• RQ4 AOP性质能否从基系统提升至群扩张上的诱导作用？
• RQ5 尼尔序列是否在典型短区间上与Möbius函数正交？

主要发现

• 在尼尔流形 G/Γ 上，每个遍历仿射单群微分同胚 φ(xΓ) = uA(x)Γ 均满足AOP性质。
• Sarnak关于Möbius正交性的猜想在该类系统的每个唯一遍历模型中均成立。
• 对每个 xΓ ∈ G/Γ 及 f ∈ C(G/Γ)，当 H→∞ 且 H/M→0 时（其中 M≤m<2M），有 |(1/H)∑_{n=m}^{m+H-1} f(φⁿ(xΓ))μ(n)| 的平均趋于零。
• 尼尔序列在典型短区间上与Möbius函数正交，即在相同条件下，f(φⁿ(xΓ))μ(n) 的短区间平均趋于零。
• 在余积满足适当正则性与遍历性条件时，AOP性质可提升至诱导作用。
• 在任意 k 步幂零李代数中，最小生成集 S 的 k 重李括张生成第 k 个导出代数 𝔤^{(k)}。