[论文解读] Approximately bisimilar symbolic models for nonlinear control systems

Giordano Pola, Antoine Girard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2007

Formal Methods in Verification参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文提出了一种方法，利用增量全局渐近稳定性（δ-ISS）作为关键属性，为非线性控制系统构建近似双相似的符号模型。通过利用δ-ISS李雅普诺夫函数并量化状态空间与输入空间，该方法确保符号模型在用户定义的误差界内近似原始系统，当状态空间有界时可实现有限模型。主要贡献在于为一类广泛的非线性系统，形式化且系统性地构建了有限的、近似双相似的符号模型。

ABSTRACT

Control systems are usually modeled by differential equations describing how physical phenomena can be influenced by certain control parameters or inputs. Although these models are very powerful when dealing with physical phenomena, they are less suitable to describe software and hardware interfacing the physical world. For this reason there is a growing interest in describing control systems through symbolic models that are abstract descriptions of the continuous dynamics, where each "symbol" corresponds to an "aggregate" of states in the continuous model. Since these symbolic models are of the same nature of the models used in computer science to describe software and hardware, they provide a unified language to study problems of control in which software and hardware interact with the physical world. Furthermore the use of symbolic models enables one to leverage techniques from supervisory control and algorithms from game theory for controller synthesis purposes. In this paper we show that every incrementally globally asymptotically stable nonlinear control system is approximately equivalent (bisimilar) to a symbolic model. The approximation error is a design parameter in the construction of the symbolic model and can be rendered as small as desired. Furthermore if the state space of the control system is bounded the obtained symbolic model is finite. For digital control systems, and under the stronger assumption of incremental input-to-state stability, symbolic models can be constructed through a suitable quantization of the inputs.

研究动机与目标

• 为解决非线性控制系统与软件及硬件交互时的控制器综合挑战，提供统一的正式建模框架。
• 通过引入近似双相似性，扩展先前关于近似模拟的工作，确保符号模型与连续模型之间的双向等价性。
• 提供一种系统化的方法，构建保留系统行为在可设计误差界内的有限符号模型。
• 建立符号模型为有限的条件，特别是当状态空间有界时。
• 通过一个摆控制系统案例，展示该方法的实际适用性与正确性。

提出的方法

• 该方法依赖于δ-ISS（增量输入-状态稳定性）的概念，确保在有界输入差异下，从相近状态出发的轨迹保持接近。
• 构建δ-ISS李雅普诺夫函数以验证稳定性条件，并量化系统对状态和输入变化的敏感性。
• 将状态空间划分为大小为η的单元，输入空间以分辨率μ进行量化，形成有限的符号状态和输入集合。
• 通过在时间步长τ内对原始系统的轨迹进行数值积分，定义符号模型中的转移关系，以确定可达状态。
• 利用比较引理界定近似误差，确保符号模型在用户定义的精度ε内与原始系统近似双相似。
• 该构造确保：对于原始系统中的任意初始状态和输入，符号模型中均存在对应的状态和输入，使得轨迹之间的距离保持在ε以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个增量全局渐近稳定的非线性控制系统是否都能通过用户定义误差界构造出有限的符号模型？
• RQ2 在何种条件下可使符号模型为有限的，特别是当状态空间有界时？
• RQ3 如何在连续控制系统与其符号抽象之间实现近似双相似性？
• RQ4 所提出的方法是否可应用于具有分段常数输入的数字控制系统？
• RQ5 系统的δ-ISS属性与存在有限的、近似双相似的符号模型之间有何关系？

主要发现

• 每个增量全局渐近稳定的非线性控制系统均存在一个近似双相似的符号模型，其近似误差为设计参数，可被任意缩小。
• 当状态空间有界时，所得符号模型为有限，从而支持算法化验证与控制器综合。
• 对于满足增量输入-状态稳定性的数字控制系统，可通过输入空间量化构造符号模型，确保有限抽象。
• 在摆控制系统案例中，当ε = 0.25，τ = 2，μ = 1.5×10⁻⁴，η = 0.4时，近似条件得到满足，证实了该方法的可行性。
• 所构建的摆系统符号模型具有5×5个状态单元和10,000个量化输入值，展示了实际可扩展性。
• 该方法确保：在符号模型上设计的任何控制器均可被细化为原始系统的控制器，且在误差界内保持行为等价。