[论文解读] Approximating a group by its solvable quotients

Khalid Bou-Rabee|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 7

一句话总结

该论文通过其可解剩余有限性增长，建立了多项式群为几乎幂零群的刻画，表明此类群在 log(n) 上具有多项式增长当且仅当它们是几乎幂零群。此外，论文证明了曲面群具有超多项式但亚指数的幂零剩余有限性增长，从而基于字长给出了非平凡元素的下层中心列深度的下界。

ABSTRACT

The solvable Farb growth of a group quantifies how well-approximated the group is by its finite solvable quotients. In this note we present a new characterization of polycyclic groups which are virtually nilpotent. That is, we show that a group has solvable Farb growth which is at most polynomial in $\log(n)$ if and only if the group is polycyclic and virtually nilpotent. We also give new results concerning approximating oriented surface groups by nilpotent quotients. As a consequence of this, we prove that a natural number $C$ exists so that any nontrivial element of the $Ck$th term of the lower central series of a finitely generated oriented surface group must have word length at least $k$. Here $C$ depends only on the choice of generating set. Finally, we give some results giving new lower bounds for the solvable Farb growth of some metabelian groups (including the Lamplighter groups).

研究动机与目标

• 通过其可解剩余有限性增长，刻画为几乎幂零群的多项式群。
• 确定定向曲面基本群的幂零剩余有限性增长的渐近增长。
• 为幂零群（包括灯夫群）的正规剩余有限性增长建立新的下界。
• 解决一个关于多项式剩余有限性增长与虚拟幂零性之间关系的广泛类群中的猜想。
• 基于字长，为曲面群中非平凡元素的下层中心列深度提供定量下界。

提出的方法

• 使用可解剩余有限性增长函数 $ F^{ ext{sol}}_{ ext{sol}}(n) $，衡量在字长 $ n $ 内检测非平凡元素所需的最小有限可解商群大小。
• 应用 J. S. Wilson 关于群的剩余性质的结果，分析有限可解商群的结构。
• 利用 $ ext{PSL}_2(ar{bZ}[i]) $ 的结构理论，为曲面群的幂零剩余有限性增长建立上界。
• 通过在 $ bZ/pbZ $ 和 $ bZ $ 上的矩阵线性代数构造，生成核中的非平凡元素，确保它们仅在大字长下才在有限商群中存活。
• 在 $ bZ^{2m} $ 和 $ bZ^m $ 中应用三角不等式和范数估计，证明有界球内存在非平凡核元素。
• 在半直积 $ bZ/pbZ \wr \bbZ $ 和 $ \bbZ \wr \bbZ $ 中显式构造在小有限可解商群中未被检测到的元素，从而得到 $ F_{\Gamma}(n) $ 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，群的可解剩余有限性增长在 $ \log(n) $ 上为多项式？
• RQ2 若群的可解剩余有限性增长在 $ \log(n) $ 上为多项式，是否其必为几乎幂零群？
• RQ3 定向曲面基本群的幂零剩余有限性增长的渐近增长率为何？
• RQ4 能否为灯夫群等幂零群的正规剩余有限性增长建立新的下界？
• RQ5 曲面群中非平凡元素的下层中心列深度如何随其字长变化？

主要发现

• 一个有限生成群具有在 $ \log(n) $ 上的可解剩余有限性增长当且仅当它是可解且几乎幂零群。
• 对于定向曲面的基本群，幂零剩余有限性增长满足 $ 2^{\sqrt{n}} \lesssim F^{\text{nil}}_{\Gamma}(n) \lesssim 2^n $，表明其具有超多项式但亚指数增长。
• 存在一个仅依赖于生成集的常数 $ C > 0 $，使得曲面群中的任意非平凡元素 $ \gamma $ 满足 $ \gamma \notin \Gamma_{C\|\gamma\|_{\mathcal{X}}} $，即它位于下层中心列的第 $ C\|\gamma\|_{\mathcal{X}} $ 项之外。
• 对于灯夫群 $ \bbZ/p\bbZ \wr \bbZ $，正规剩余有限性增长满足 $ F_{\Gamma}(n) \gtrsim \sqrt{n} $，表明存在非平凡下界。
• 对于半直积 $ \bbZ \wr \bbZ $，正规剩余有限性增长满足 $ F_{\Gamma}(n) \gtrsim n^{1/4} $，表明其下界强于此前已知结果。
• 该论文解决了由猜想提出的问题，表明在具有有限指数剩余可解子群的群类中，$ \log(n) $ 上的多项式剩余有限性增长刻画了虚拟幂零性。