[论文解读] Approximating fixed points of enriched Chatterjea contractions by Krasnoselskij iterative method in Banach spaces

Vasile Berinde, Mădălina Pačurar|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 37被引用 8

一句话总结

本文在巴拿赫空间中引入了增强型查特吉压缩映射，通过克拉斯诺斯尔斯基迭代方法证明了不动点的存在性与收敛性。研究结果表明，对于此类映射，克拉斯诺斯尔斯基迭代而非皮卡德迭代可逼近不动点，通过克拉斯诺斯尔斯基平均化与增强型压缩条件，将经典查特吉与卡南结果推广至更广范畴。

ABSTRACT

Using the technique of enrichment of contractive type mappings by Krasnoselskij averaging, introduced in [Berinde, V., {\it Approximating fixed points of enriched nonexpansive mappings by Krasnoselskij iteration in Hilbert spaces}, Carpathian J. Math. {\bf 35} (2019), no. 3, 277-288.], we introduce the class of enriched Chatterjea contractions and prove general fixed point theorems for such contractions in the setting of a Banach space. Examples to illustrate the richness of the new class of contractions and the relationship between enriched Banach contractions, enriched Kannan contractions and enriched Kannan contractions are also given.

研究动机与目标

• 将克拉斯诺斯尔斯基平均化技术推广至巴拿赫空间中的查特吉型压缩映射。
• 定义并研究一类新映射，称为增强型查特吉压缩映射，推广经典查特吉与卡南压缩映射。
• 证明对于此类映射，克拉斯诺斯尔斯基迭代而非皮卡德迭代可逼近不动点。
• 利用克拉斯诺斯尔斯基迭代方案，建立增强型查特吉映射的一般不动点定理。

提出的方法

• 通过涉及参数 k 和 b 的压缩条件引入 (k,b)-增强型查特吉映射的概念，其中 k ≥ 0 且 b ∈ [0, 1/2)。
• 通过定义 Tλ(x) = (1−λ)x + λTx（λ ∈ (0,1]）应用克拉斯诺斯尔斯基平均化，将原映射转化为适合不动点分析的形式。
• 利用增强型查特吉条件与 Tλ 的类拟压缩形式之间的等价性，使 Ćirić 的不动点定理得以应用。
• 当 k > 0 时，取 λ = 1/(k+1)，将压缩条件重写为关于 Tλ 的形式，表明 Tλ 满足查特吉型拟压缩条件。
• 当 k = 0 时，退化为经典查特吉情形，此时皮卡德迭代可直接应用。
• 证明 Fix(T) = {p}，且对任意 x0 ∈ X，由 xn+1 = (1−λ)xn + λT(xn) 定义的序列 {xn} 收敛于 p。

实验结果

研究问题

• RQ1 克拉斯诺斯尔斯基平均化技术能否推广至巴拿赫空间中的查特吉型压缩映射？
• RQ2 当皮卡德迭代失效时，克拉斯诺斯尔斯基迭代是否仍能收敛于增强型查特吉映射的不动点？
• RQ3 增强型查特吉映射类与增强型巴拿赫及增强型卡南压缩映射类之间有何关系？
• RQ4 参数 k 在增强查特吉压缩映射及实现克拉斯诺斯尔斯基收敛中起何作用？
• RQ5 能否基于 Ćirić 的拟压缩框架推导出增强型查特吉映射的不动点定理？

主要发现

• 当 k = 0 时，(k,b)-增强型查特吉映射类退化为经典查特吉压缩映射，恢复原始情形。
• 对任意 k ≥ 0 且 b ∈ [0, 1/2)，映射 T 满足增强型查特吉条件，且具有唯一不动点。
• 对任意 x0 ∈ X，克拉斯诺斯尔斯基迭代 {xn+1 = (1−λ)xn + λT(xn)} 均收敛于不动点 p，其中 λ ∈ (0,1] 依赖于 k。
• 当 k > 0 时，平均化映射 Tλ 满足查特吉型拟压缩条件，从而可通过 Ćirić 定理实现收敛。
• 不动点唯一，且收敛性与初始点 x0 无关。
• 在增强框架下，结果推广了经典查特吉、卡南与巴拿赫不动点定理。