[论文解读] Approximating three-dimensional Navier-Stokes equations driven by space-time white noise

Rongchan Zhu, Xiangchan Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 16

一句话总结

本文通过拟微分分布方法，建立了三维随机纳维-斯托克斯方程在时空白噪声驱动下的正则化逼近的收敛性。通过从逼近方程中减去重整化引起的漂移项，作者确保极限解满足原始方程，从而克服了由粗糙噪声引起的奇异性。关键贡献是在随机霍尔德空间中，以显式收敛速率获得严格逼近结果。

ABSTRACT

In this paper we study approximations to 3D Navier-Stokes (NS) equation driven by space-time white noise by paracontrolled distribution proposed in [GIP13]. A solution theory for this equation has been developed recently in [ZZ14] based on regularity structure theory and paracontrolled distribution. In order to make the approximating equation converge to 3D NS equation driven by space-time white noise, we should subtract some drift terms in approximating equations. These drift terms, which come from renormalizations in the solution theory, converge to the solution multiplied by some constant depending on approximations.

研究动机与目标

• 建立三维随机纳维-斯托克斯方程在时空白噪声驱动下的正则化逼近的收敛性。
• 解决由于时空白噪声的粗糙性导致的方程中空间正则性不足及非线性项未定义的问题。
• 证明若不引入重整化漂移修正，逼近的极限将无法满足原始方程。
• 利用拟微分分布框架，提供一个具体的逼近结果，扩展了KPZ型方程中的技术方法。
• 在随机霍尔德范数中推导逼近解的定量收敛速率。

提出的方法

• 采用拟微分分布方法，结合古宾内利的可控粗糙路径与邦伊的拟积分解。
• 采用假设 $ u = \pi_{<}(u', g) + u^\sharp $，其中 $ \pi_{<} $ 提取奇异部分，$ u^\sharp $ 具备足够正则性以支持乘法运算。
• 构造逼近方程 $ du^\varepsilon = (\nu\Delta^\varepsilon u^\varepsilon - P\sum D^\varepsilon_j(u^\varepsilon u^\varepsilon_j))dt + P dW $，其中包含离散拉普拉斯算子与梯度算子。
• 在逼近方程中引入并减去特定的重整化漂移项，以抵消原本会在极限中持续存在的发散项。
• 在维纳混沌分解中应用随机分析，通过谱投影与傅里叶分析估计二阶、三阶与四阶混沌项。
• 利用高斯超收缩性与矩估计，证明在 $ L^p(\Omega; C([0,T], C^{-\delta})) $ 中收敛，其中 $ \delta > 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 拟微分分布方法能否用于构建三维纳维-斯托克斯方程在时空白噪声驱动下的一致逼近方案？
• RQ2 在逼近方程中，为确保收敛至真实解，需要哪些重整化漂移修正？
• RQ3 逼近的收敛速率如何依赖于正则性与噪声结构？
• RQ4 为何在无漂移修正的情况下，标准逼近无法收敛至原方程的解？
• RQ5 能否通过混沌展开技术在随机霍尔德空间中量化收敛性？

主要发现

• 逼近解 $ u^\varepsilon $ 的极限收敛于由时空白噪声驱动的三维随机纳维-斯托克斯方程的解 $ u $。
• 若不减去重整化引起的漂移项，极限 $ \bar{u} $ 将满足一个带有额外漂移项的修正方程，该漂移项依赖于逼近方案。
• 差值 $ u^\varepsilon - \bar{u}^\varepsilon $ 在 $ L^p(\Omega; C([0,T], C^{-\delta})) $ 中收敛至零，收敛速率为 $ \varepsilon^{\eta} $，其中 $ \eta > 0 $。
• 二阶混沌项满足 $ |\phi^\varepsilon_2 - \bar{\phi}^\varepsilon_2| \lesssim t^{-\rho} \varepsilon^{\eta} $，对任意 $ \rho > 0 $，表明在加权霍尔德范数中收敛。
• 通过傅里叶分析与谱投影估计二阶混沌项，得到 $ \| \Delta_q I^i_t \|_{L^2} \lesssim \varepsilon^{\eta} t^{\epsilon} 2^{q(2\epsilon + \eta)} $。
• 四阶混沌项满足 $ \| \Delta_q L^1_t \|_{L^2} \lesssim \varepsilon^{\eta} t^{\epsilon} 2^{q(2\epsilon + \eta)} $，证实了在随机霍尔德空间中的收敛性，并给出了显式收敛速率。