[论文解读] Approximation algorithms and hardness for domination with propagation

Ashkan Aazami, Michael D. Stilp|ArXiv.org|Oct 10, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提出了功率支配集（PDS）问题的近似算法与下界结果，该问题在经典支配集问题的基础上增加了传播规则。研究建立了强不可近似阈值 $2^{"log^{1-ε} n}$，为平面图给出了 $O(\sqrt{n})$ 近似算法（紧致），并证明了有向无环图（DAG）的类似下界，同时为有界树宽图上的有向PDS问题提供了线性时间最优解。

ABSTRACT

The power dominating set (PDS) problem is the following extension of the well-known dominating set problem: find a smallest-size set of nodes $S$ that power dominates all the nodes, where a node $v$ is power dominated if (1) $v$ is in $S$ or $v$ has a neighbor in $S$, or (2) $v$ has a neighbor $w$ such that $w$ and all of its neighbors except $v$ are power dominated. We show a hardness of approximation threshold of $2^{\log^{1-ε}{n}}$ in contrast to the logarithmic hardness for the dominating set problem. We give an $O(\sqrt{n})$ approximation algorithm for planar graphs, and show that our methods cannot improve on this approximation guarantee. Finally, we initiate the study of PDS on directed graphs, and show the same hardness threshold of $2^{\log^{1-ε}{n}}$ for directed \emph{acyclic} graphs. Also we show that the directed PDS problem can be solved optimally in linear time if the underlying undirected graph has bounded tree-width.

研究动机与目标

• 研究功率支配集（PDS）问题的近似复杂度，该问题是在支配集问题基础上引入传播规则的扩展。
• 建立PDS的紧致不可近似结果，表明除非 $\textsf{P} = \textsf{NP}$，否则无法在 $2^{\log^{1-\epsilon} n}$ 因子内近似。
• 设计并分析PDS的近似算法，特别是针对平面图和有界树宽的有向图。
• 研究贪心算法及其相关启发式方法（如邻近性、清理）在PDS实例上的性能极限。

提出的方法

• 通过从集合覆盖问题规约证明不可近似性，表明PDS继承了 $2^{\log^{1-\epsilon} n}$ 的下界，与集合覆盖问题的最佳已知不可近似性一致。
• 利用图的结构特性与在精心构造的子图上应用贪心策略，设计出针对平面图的 $O(\sqrt{n})$-近似算法。
• 通过构造一类平面图，证明该近似算法的解规模为最优解的 $\Theta(\sqrt{n})$ 倍，从而证明该界是渐近紧致的。
• 通过定义有向传播规则，分析有向图上的PDS问题，并证明有向无环图（DAG）也具有相同的不可近似性阈值。
• 利用树分解上的动态规划，在底层无向图具有有界树宽时，以线性时间最优求解有向PDS问题。
• 构造显式反例（如边被细分的网格图），表明标准贪心变体（邻近性、清理）的解可能比最优解大 $\Theta(n)$ 倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面图上，功率支配集问题的最佳可能近似比是多少？
• RQ2 从不可近似性阈值的角度看，功率支配集问题的近似难度如何？
• RQ3 PDS中的传播规则是否能显著优于标准支配集问题的近似保证？
• RQ4 有向图上（特别是DAG）功率支配集问题的复杂度如何？
• RQ5 对于有界树宽的图，PDS问题是否可在多项式时间内最优求解？

主要发现

• 假设 $\textsf{P} \neq \textsf{NP}$，功率支配集问题无法在 $2^{\log^{1-\epsilon} n}$ 因子内近似，该结果与集合覆盖问题的最佳已知不可近似性一致。
• 本文为平面图提出了 $O(\sqrt{n})$-近似算法，且该界是紧致的，因为存在平面图使得该算法的解规模为最优解的 $\Theta(\sqrt{n})$ 倍。
• PDS的标准贪心算法可能产生比最优解大 $\Theta(n)$ 倍的解，即使在平面图上也是如此。
• 邻近性与清理类贪心变体同样无法获得亚线性近似比，通过显式反例表明其输出可能为最优解的 $\Theta(n)$ 倍。
• 对于有向无环图，PDS问题继承了与无向情况相同的不可近似性阈值 $2^{\log^{1-\epsilon} n}$，表明其难度相当。
• 当有向PDS实例的底层无向图具有有界树宽时，通过在树分解上使用动态规划，可在线性时间内最优求解该问题。