[论文解读] Approximation Algorithms for Envy-Free Cake Division with Connected Pieces

Siddharth Barman, Pooja Kulkarni|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2022

Game Theory and Voting Systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间近似算法，用于具有连通片段的 envy-free 蛋糕划分，实现了 $\frac{1}{4} + o(1)$ 的同时加法近似和 $\frac{1}{2} - o(1)$ 的乘法近似。该方法结合了区间扩展与一种新颖的分叉区间技术，并采用嫉妒循环消除法来控制嫉妒，优于先前 $\frac{1}{3}$ 的加法误差和 $\frac{1}{2}$ 的乘法误差。

ABSTRACT

Cake cutting is a classic model for studying fair division of a heterogeneous, divisible resource among agents with individual preferences. Addressing cake division under a typical requirement that each agent must receive a connected piece of the cake, we develop approximation algorithms for finding envy-free (fair) cake divisions. In particular, this work improves the state-of-the-art additive approximation bound for this fundamental problem. Our results hold for general cake division instances in which the agents' valuations satisfy basic assumptions and are normalized (to have value 1 for the cake). Furthermore, the developed algorithms execute in polynomial time under the standard Robertson-Webb query model. Prior work has shown that one can efficiently compute a cake division (with connected pieces) in which the additive envy of any agent is at most 1/3. An efficient algorithm is also known for finding connected cake divisions that are (almost) 1/2-multiplicatively envy-free. Improving the additive approximation guarantee and maintaining the multiplicative one, we develop a polynomial-time algorithm that computes a connected cake division that is both (1/4 +o(1))-additively envy-free and (1/2 - o(1))-multiplicatively envy-free. Our algorithm is based on the ideas of interval growing and envy-cycle elimination. In addition, we study cake division instances in which the number of distinct valuations across the agents is parametrically bounded. We show that such cake division instances admit a fully polynomial-time approximation scheme for connected envy-free cake division.

研究动机与目标

• 开发一种具有改进加法近似保证的连通 envy-free 蛋糕划分的多项式时间算法。
• 在相同的计算约束下，同时保持强健的乘法近似边界。
• 通过设计完全多项式时间近似方案（FPTAS），解决具有有界异质性（少数不同估值）的情形。
• 克服在连通性约束下精确 envy-free 蛋糕划分的算法障碍。

提出的方法

• 引入了分叉区间的概念，通过修改参与者的估值，使其偏好具有特定结构特性的区间。
• 应用区间扩展过程，将不相交的区间分配给参与者，同时保持嫉妒在有界范围内。
• 采用嫉妒循环消除法来解决嫉妒循环，并在不增加嫉妒超出边界的前提下分配剩余未分配的区间。
• 使用基于参与者估值导出的切点的离散化方法，构建一组有限的候选区间。
• 对于有界异质性的情形，从 $O(\varepsilon n)$ 个切点中构造出最多 $n$ 个不相交的区间，确保 $\varepsilon$-加法近似。
• 证明该算法在 Robertson-Webb 查询模型下运行时间为多项式时间，并保证所有参与者嫉妒有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在加法近似方面实现优于 $\frac{1}{3}$ 的连通 envy-free 蛋糕划分？
• RQ2 能否在多项式时间内同时实现加法和乘法近似的改进？
• RQ3 当参与者估值种类数量有界时，是否存在蛋糕划分的完全多项式时间近似方案（FPTAS）？
• RQ4 嫉妒循环消除法能否有效适应具有有界嫉妒增长的连续蛋糕切割场景？

主要发现

• 所提出的算法实现了连通片段 envy-free 蛋糕划分的同步 $\left(\frac{1}{4} + o(1)\right)$-加法和 $\left(\frac{1}{2} - o(1)\right)$-乘法近似。
• 该算法在 Robertson-Webb 查询模型下运行时间为多项式时间，并保证所有参与者嫉妒有界。
• 对于具有最多 $\varepsilon n - 1$ 种不同估值的实例，该算法在 $n$ 和 $\frac{1}{\varepsilon}$ 的多项式时间内计算出 $\varepsilon$-嫉妒自由分配。
• 该算法确保所有区间互不相交，并且共同覆盖整个蛋糕 $[0,1]$，形成完整的分配。
• 分析过程涉及新颖的引理和复杂的案例分析，尤其在区间分配和循环消除过程中对嫉妒的边界控制。
• 在有界异质性下实现任何非平凡的乘法近似，其难度等同于解决一般情况，凸显了加法与乘法近似之间的根本差异。