[论文解读] Approximation and convergence of formal CR-mappings

Francine Meylan, Nordine Mir+1 more|ArXiv.org|May 14, 2002

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用 8

一句话总结

该论文证明，任何从一个极小实解析CR子流形到复空间中实代数子集的正式全纯映射，均可被收敛全纯映射以任意有限阶逼近，使其将该子流形映射到目标集合。关键结果是：若正式映射不收敛，则其必将源映射到目标中具有无限D’Angelo型的点集；因此，若目标中不包含通过基点的正维复子簇，则该映射必收敛。

ABSTRACT

Let $M\subset C^N$ be a minimal real-analytic CR-submanifold and $M'\subset C^{N'}$ a real-algebraic subset through points $p\in M$ and $p'\in M'$. We show that that any formal (holomorphic) mapping $f\colon (C^N,p) o (C^{N'},p')$, sending $M$ into $M'$, can be approximated up to any given order at $p$ by a convergent map sending $M$ into $M'$. If $M$ is furthermore generic, we also show that any such map $f$, that is not convergent, must send (in an appropriate sense) $M$ into the set $E'\subset M'$ of points of D'Angelo infinite type. Therefore, if $M'$ does not contain any nontrivial complex-analytic subvariety through $p'$, any formal map $f$ as above is necessarily convergent.

研究动机与目标

• 确定从实解析CR子流形到实代数子集的正式全纯映射是否可被收敛全纯映射逼近。
• 刻画正式映射必须收敛的条件，尤其关注目标子集的几何性质。
• 将阿廷逼近定理推广至CR几何设定，其中目标不一定是完备交或由收敛方程定义。
• 阐明目标流形中无限D’Angelo型点集作为正式CR映射收敛性唯一障碍的作用。
• 在不假设映射有限或可逆的条件下，解决正式CR映射的收敛性问题，这是对先前结果的重要推广。

提出的方法

• 利用非典型极小CR子流形的内在复化，将非典型情形约化为典型情形。
• 在CR几何背景下应用阿廷逼近定理，将其适配于实解析集与实代数集之间形式幂级数映射的情形。
• 构造一个给定形式映射 $ f $ 的全纯逼近列 $ f^k $，使得 $ f^k $ 与 $ f $ 在阶 $ k $ 内一致，并将 $ M $ 映射到 $ M' $。
• 定义并分析集合 $ \mathcal{E}' \subset M' $，即所有通过这些点存在正维不可约复解析子簇的点集，作为非收敛性的关键临界集。
• 利用全纯函数芽环的分式域的超越基进行论证，若映射不包含于 $ \mathcal{E}' $，则导出矛盾。
• 通过反证法证明：利用某些幂级数展开的收敛性及映射图像在乘积空间中的结构，结合 $ M $ 的极小性与典型性。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何从极小实解析CR子流形到实代数子集的正式全纯映射，是否可被一个保持映射到目标子集性质的收敛全纯映射以任意阶逼近？
• RQ2 什么几何障碍会阻止正式CR映射收敛？该障碍能否被精确刻画？
• RQ3 在目标子集 $ M' $ 满足何种条件下，所有正式CR映射必然收敛？
• RQ4 正式CR映射的收敛性是否独立于映射的可逆性或有限性？这与以往文献中的假设是否一致？
• RQ5 能否证明 $ M' $ 中无限D’Angelo型点集是所有非收敛正式CR映射的唯一可能像集？

主要发现

• 任何正式全纯映射 $ f: (\mathbb{C}^N, p) \to (\mathbb{C}^{N'}, p') $，若将极小实解析CR子流形 $ M \subset \mathbb{C}^N $ 映射到实代数子集 $ M' \subset \mathbb{C}^{N'} $，则可被一个收敛全纯映射 $ f^k $ 以任意有限阶 $ k $ 逼近，且 $ f^k $ 同样将 $ M $ 映射到 $ M' $。
• 若 $ M $ 为典型情形，则任一非收敛形式映射 $ f $ 必将 $ M $ 映射到集合 $ \mathcal{E}' \subset M' $，其中 $ \mathcal{E}' $ 定义为所有通过这些点存在正维不可约复解析子簇的点集。
• 当且仅当 $ M' $ 不包含通过 $ p' $ 的正维不可约复解析子簇时，所有从极小实解析典型子流形到 $ M' $ 的正式CR映射均为收敛。
• 该结果无需假设映射 $ f $ 可逆、有限，甚至非恒常，从而推广了以往需附加此类假设的研究结果。
• 证明依赖于反证法：利用沿像集的全纯函数芽环的分式域的超越次数，证明若映射不收敛，则其像必位于 $ \mathcal{E}' $ 中。
• 逼近列 $ f^k $ 的构造通过将非典型情形经复化约化为典型情形实现，并利用泰勒多项式匹配形式映射在阶 $ k $ 内的展开。