[论文解读] Approximation and Schur properties for Lipschitz free spaces over compact metric spaces

Peter Hájek, Gilles Lancien+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用 10

一句话总结

该论文证明了对于任意可分Banach空间 $X$，存在一个与Cantor空间同胚的紧致度量空间，其Lipschitz自由空间包含一个与 $X$ 同构的补子空间。此外，论文还证明了此类自由空间可能不具有逼近性质，并且在Cantor空间上存在一个不可数族拓扑等价的距离，其对应的自由空间两两不互同构。此外，论文还表明，任何可数紧致度量空间上的自由空间都具有Schur性质。

ABSTRACT

We prove that for any separable Banach space $X$, there exists a compact metric space which is homeomorphic to the Cantor space and whose Lipschitz-free space contains a complemented subspace isomorphic to $X$. As a consequence we give an example of a compact metric space which is homeomorphic to the Cantor space and whose Lipschitz-free space fails the approximation property and we prove that there exists an uncountable family of topologically equivalent distances on the Cantor space whose free spaces are pairwise non isomorphic. We also prove that the free space over a countable compact metric space has the Schur property. These results answer questions by G. Godefroy.

研究动机与目标

• 为Godefroy关于完美、完全不连通的紧致度量空间（同胚于Cantor空间）的Lipschitz自由空间是否具有有界逼近性质的公开问题提供解答。
• 构造一个与Cantor空间同胚的紧致度量空间，其Lipschitz自由空间不具有逼近性质。
• 证明在Cantor空间上存在一个不可数族拓扑等价的距离，其对应的自由空间两两不互同构。
• 证明任意可数紧致度量空间上的Lipschitz自由空间具有Schur性质，从而证实了与弱序列完备性和范数收敛相关的猜想。

提出的方法

• 将Banach空间自由空间中barycenter映射的线性等距提升构造方法推广至度量空间，采用[7]中的方法变体，将任意可分Banach空间等距嵌入到紧致度量空间的自由空间中。
• 使用Cantor-Bendixson导出的超限归纳法，将度量空间分解为若干闭开子集，每个子集的导出集均为平凡，从而将问题约化为 $K^{(\alpha)} = \{0\}$ 的情形。
• 应用在不相交并集上自由空间的等距分解：当 $K = \bigcup K_i$ 且各 $K_i$ 为闭开且相互分离时，有 $\mathcal{F}(K) \cong \big(\bigoplus_{i=1}^n \mathcal{F}(K_i)\big)_{\ell_1}$。
• 采用反证法：假设一个弱零序列不收敛于范数，然后通过在各分量 $\mathcal{F}(C_k)$ 上施加受控投影 $T_k$，构造出与 $\ell_1$-基等价的子序列。
• 利用关键估计 $\|\sum \alpha_n \gamma_{i_n}\| \geq \frac{\delta}{6} \sum |\alpha_n|$（其中 $\delta > 0$），该估计源于对区间 $F_n$ 上投影的 $\frac{1}{3}$-下界，从而与弱零性矛盾。
• 通过[13]中给出的嵌入 $\mathcal{F}(M) \hookrightarrow \big(\sum_{k\in\mathbb{Z}} \mathcal{F}(M_k)\big)_{\ell_1}$，将Schur性质结果推广至适当的可数度量空间，并应用每个 $\mathcal{F}(M_k)$ 的Schur性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个与Cantor空间同胚的紧致度量空间，其Lipschitz自由空间不具有逼近性质？
• RQ2 能否构造一个不可数族Cantor空间上的拓扑等价距离，使得其对应的自由空间两两不互同构？
• RQ3 可数紧致度量空间上的Lipschitz自由空间是否具有Schur性质？
• RQ4 对于紧致度量空间上的自由空间，有界逼近性质在Lipschitz同构下是否稳定？
• RQ5 每个可分Banach空间是否都能实现为某个与Cantor空间同胚的紧致度量空间的自由空间中的补子空间？

主要发现

• 对于任意可分Banach空间 $X$，存在一个与Cantor空间同胚的紧致度量空间 $K$，使得 $\mathcal{F}(K)$ 包含一个与 $X$ 同构的补子空间。
• 存在一个与Cantor空间同胚的紧致度量空间 $K$，使得 $\mathcal{F}(K)$ 不具有逼近性质。
• 存在一个不可数族Cantor空间上的拓扑等价距离，使得其对应的自由空间两两不互同构。
• 任意可数紧致度量空间 $K$ 上的自由空间 $\mathcal{F}(K)$ 具有Schur性质，即每个弱收敛序列都是范数收敛的。
• 任意适当的可数度量空间上的自由空间具有Schur性质，该结果已超越紧致性限制。
• 该构造表明，当 $K$ 为可数且紧致时，$\mathcal{F}(K)$ 同构于一个对偶空间，并且具有度量逼近性质。