[论文解读] Approximation by Fourier sums in classes of differentiable functions with high exponents of smoothness

A. S. Serdyuk, И. В. Соколенко|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2019

Mathematical Approximation and Integration参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文在平滑参数 $ r $ 相对于 $ n $ 快速增长（即 $ r/n \to \infty $）的条件下，建立了 Weyl-Nagy 类 $ W^r_{\beta,p} $ 中函数在一致范数和 $ L_p $ 范数下，由三角傅里叶级数最佳逼近的渐近等式。该研究推广了先前的结果，推导出包含 $ \cos t $ 的 $ L_{p'} $-范数和指数衰减余项的精确渐近公式，且在 $ r $、$ n $ 和 $ \beta $ 上一致成立，将已知的 $ p=\infty $ 和 $ p=1 $ 情况的结果推广至所有 $ 1\leq p\leq\infty $。主要贡献在于为高平滑度情形建立了统一的渐近框架。

ABSTRACT

We find asymptotic equalities for the exact upper bounds of approximations by Fourier sums of Weyl-Nagy classes $W^r_{β,p}, 1\le p\le\infty,$ for rapidly growing exponents of smoothness $r$ $(r/n ightarrow\infty)$ in the uniform metric. We obtain similar estimates for approximations of the classes $W^r_{β,1}$ in metrics of the spaces $L_p, 1\le p\le\infty$.

研究动机与目标

• 推导 Weyl-Nagy 类 $ W^r_{\beta,p} $ 中函数在一致范数和 $ L_p $ 范数下，由三角傅里叶级数最佳逼近的渐近等式。
• 将已知的 $ p=1 $ 和 $ p=\infty $ 情形的渐近估计推广至整个范围 $ 1\leq p\leq\infty $。
• 分析当平滑参数 $ r $ 相对于次数 $ n $ 快速增长（即 $ r/n \to \infty $）时，逼近误差中余项的行为。
• 在 $ r $、$ n $ 和 $ \beta $ 上建立渐近展开中余项的统一有界性。

提出的方法

• 作者利用 Weyl-Nagy 类可表示为与 Weyl-Nagy 核 $ B_{r,\beta}(t) $ 卷积的形式，即 $ f = \frac{a_0}{2} + \frac{1}{\pi}\int \varphi(x-t) B_{r,\beta}(t) dt $，其中 $ \varphi \in U_p^0 $。
• 他们应用 Banach 空间中最佳逼近的理论，并通过 $ 1/p + 1/p' = 1 $ 利用 $ L_p $ 与 $ L_{p'} $ 范数之间的对偶性。
• 主要技术工具是将逼近误差 $ \varepsilon_n(W^r_{\beta,p})_X $ 的估计推广为关于 $ \cos t $ 的 $ L_{p'} $-范数和一个包含 $ \sum_{k=n+1}^\infty k^{-r} $ 的余项。
• 证明依赖于积分表示和 Hurwitz zeta 函数的渐近分析，特别是对 $ p=2 $ 的情形以验证一般形式。
• 作者推导了由序列 $ \bar{\beta} = \{\beta_k\} $ 定义的类的一般渐近公式，当 $ \beta_k \equiv \beta $ 时，$ W^r_{\beta,p} $ 是其特例。
• 他们证明，在 $ r/n \to \infty $ 条件下，余项 $ O(1)(1+1/n)^{-r} $ 趋于零，从而确认了渐近等式的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ r/n \to \infty $ 时，$ W^r_{\beta,p} $ 函数在一致范数下由傅里叶级数最佳逼近的精确渐近行为是什么？
• RQ2 在相同高平滑度条件下，$ W^r_{\beta,1} $ 类在 $ L_p $ 范数下的逼近误差行为如何？
• RQ3 能否对已知 $ p=1 $ 和 $ p=\infty $ 情形的渐近估计中的余项实现统一有界，并推广至所有 $ 1\leq p\leq\infty $？
• RQ4 对于一般 $ p $，$ \cos t $ 的 $ L_{p'} $-范数在决定逼近误差主项中的作用是什么？
• RQ5 在何种条件下余项可忽略不计，从而使估计变为渐近等式？

主要发现

• 对于 $ 1\leq p\leq\infty $，$ r\geq n+1 $，且 $ \beta\in\mathbb{R} $，一致范数下的最佳逼近满足 $ \varepsilon_n(W^r_{\beta,p})_C = \frac{\|\cos t\|_{p'}}{\pi n^r} + O(1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-r} $，其中 $ O(1) $ 一致有界。
• 对于 $ W^r_{\beta,1} $ 在 $ L_p $ 范数下，逼近误差为 $ \varepsilon_n(W^r_{\beta,1})_{L_p} = \frac{\|\cos t\|_p}{\pi n^r} + O(1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-r} $，余项具有相同的统一有界性。
• 当 $ r/n \to \infty $ 时，余项 $ O(1)(1+1/n)^{-r} \to 0 $，因此估计成为渐近等式。
• 当 $ p=2 $ 时，结果特化为 $ \varepsilon_n(W^r_{\bar{\beta},2})_C = \varepsilon_n(W^r_{\bar{\beta},1})_{L_2} = \frac{1}{\sqrt{\pi} n^r} + O(1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-r} $，与已知的 $ L_2 $-范数结果一致。
• 渐近公式在 $ r $、$ n $ 和 $ \beta $ 上一致成立，且无需先前工作中使用的更强条件 $ \psi(k+1)/\psi(k) \to 0 $。
• 主项 $ \|\cos t\|_p / \pi $ 推广了已知的 $ p=\infty $ 时的 $ 4/\pi^2 $ 因子和 $ p=1 $ 时的 $ 4/\pi $ 因子，显示出对 $ p $ 的连续依赖性。