[论文解读] Approximation by generalized Szasz operators involving Sheffer polynomials

M. ‎Mursaleen, Khursheed J‎. ‎Ansari|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2015

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一类基于 Sheffer 多项式的一类 Chlodowsky 型广义 Szász 算子，利用 Korovkin 定理建立收敛性，并通过二阶模连续性与 Peetre 的 K-泛函估计收敛速度。进一步利用 Gadjiev 与 Aral 提出的新加权模连续性研究加权空间中的逼近性质，结合数值示例与图像验证，表明其收敛性优于经典算子。

ABSTRACT

The purpose of this article is to give a Chlodowsky type generalization of Szasz operators defined by means of the Sheffer type polynomials. We obtain convergence properties of our operators with the help of Korovkin's theorem and the order of convergence by using a classical approach, the second order modulus of continuity and Peetre's K-functional. Moreover, we study the convergence of these operators in a weighted space of functions on a positive semi-axis and estimate the approximation by using a new type of weighted modulus of continuity introduced by Gadjiev and Aral in [12]. An algorithm is also given to plot graphical examples, and we have shown the convergence of these operators towards the function and these examples can be take as a comparison between the new operators with the previous one too. Finally, some numerical examples are also given.

研究动机与目标

• 基于 Sheffer 多项式，提出在正半轴上更优逼近的广义 Szász 算子的 Chlodowsky 型推广。
• 利用 Korovkin 定理建立局部逼近性质，并通过经典方法、二阶模连续性与 Peetre 的 K-泛函量化收敛速度。
• 利用 Gadjiev 与 Aral 提出的新加权模连续性，研究在 [0, ∞) 上函数加权空间中的收敛性。
• 提出一种可视化收敛性的算法，并通过图像与数值示例将新算子与经典算子进行比较。
• 利用模连续性估计特定测试函数的误差界，并展示在 n 增大时的数值表现。

提出的方法

• 提出一个新的算子 $ T_n^*(f;x) $，其基于生成函数为 $ A(t)e^{xH(t)} = \sum_{k=0}^\infty p_k(x)t^k $ 的 Sheffer 多项式，引入满足 $ \lim_{n\to\infty} b_n = \infty $ 且 $ \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{n} = 0 $ 的序列 $ b_n $。
• 利用 Korovkin 定理证明 $ T_n^* $ 在 $ C_E[0,\infty) $ 中函数的逐点收敛性，借助 $ e_0, e_1, e_2 $ 的矩估计。
• 利用二阶模连续性 $ \omega_2(f;\delta) $ 与 Peetre 的 K-泛函 $ K(f;\delta) $ 估计收敛速度，得到以 $ \frac{b_n}{n} $ 与 $ \frac{b_n^2}{n^2} $ 表示的界。
• 应用 Gadjiev 与 Aral 提出的新加权模连续性研究加权空间 $ C_\rho^k(\mathbb{R}_0^+) $ 中的收敛性，其中权函数为 $ \rho(x) = 1 + x^2 $。
• 在加权范数 $ \| \cdot \|_{\rho^4 \psi} $ 下推导误差界，表明当 $ n \to \infty $ 时收敛于零，给出 $ \alpha_n, \beta_n, \gamma_n $ 的显式表达式。
• 开发一种算法，用于生成 $ T_n^* $ 逼近测试函数的图像示例，实现与经典算子的视觉比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 Chlodowsky 型设定下，利用 Sheffer 多项式对经典 Szász 算子进行推广，以实现对 [0, ∞) 上函数的逼近？
• RQ2 所提出的广义算子的收敛速度如何？能否通过经典方法与泛函分析工具进行量化？
• RQ3 新算子在正半轴上函数的加权空间中的表现如何？新加权模连续性在此分析中起什么作用？
• RQ4 所提出的算子能否通过图像与数值示例进行可视化与验证，以表明其收敛性优于经典 Szász 或 Jakimovski-Leviatan 算子？
• RQ5 特定测试函数的显式误差界是什么？随着 n 增大，这些误差界如何衰减？

主要发现

• 所提出的 Chlodowsky 型算子 $ T_n^* $ 对所有 $ f \in C_E[0,\infty) $ 逐点收敛于 $ f $，经 Korovkin 定理与矩估计验证。
• 利用二阶模连续性估计的收敛速度为 $ O\left(\sqrt{\frac{b_n}{n}}\right) $，显式依赖于 $ H''(1) $ 与 $ A(t) $ 的导数。
• 在加权空间 $ C_\rho^k(\mathbb{R}_0^+) $ 中，逼近误差满足 $ \|T_n^*(f) - f\|_{\rho^4 \psi} \leq 16\Omega_\rho\left(f,\sqrt{\alpha_n + 2\beta_n + \gamma_n}\right) + \alpha_n\|f\|_\rho $，其中 $ \alpha_n, \beta_n, \gamma_n \to 0 $ 当 $ n \to \infty $。
• 对 $ f(x) = -4xe^{-3x} $ 的数值结果表明，n = 10 时误差为 0.948，n = 10^{19} 时衰减至 $ 1.42 \times 10^{-4} $，表明收敛迅速。
• 通过所提算法生成的图像示例直观表明，新算子比经典算子收敛更快且更平滑。
• 误差界在不同 Sheffer 序列（如 $ \{(1+x)^k\} $ 与 $ \{x^{k-1}\} $）中保持一致，表明该通用框架具有鲁棒性。