[论文解读] Approximation of corner polyhedra with families of intersection cuts

Gennadiy Averkov, Amitabh Basu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文確立了使用具有有界面數的格點自由多面體生成的截面切割來近似角落多面體的嚴苛閾值。證明顯示，對於 n 個基本整數變數，當且僅當格點自由集合具有超過 $2^{n-1}$ 個面時，才可實現僅依賴於維度 n 的常數因子近似；否則，此類近似不存在，且當近似因子依賴於線性放鬆中分數頂點的分母時，精確閾值為 n 個面。

ABSTRACT

We study the problem of approximating the corner polyhedron using intersection cuts derived from families of lattice-free sets in $\mathbb{R}^n$. In particular, we look at the problem of characterizing families that approximate the corner polyhedron up to a constant factor, which depends only on $n$ and not the data or dimension of the corner polyhedron. The literature already contains several results in this direction. In this paper, we use the maximum number of facets of lattice-free sets in a family as a measure of its complexity and precisely characterize the level of complexity of a family required for constant factor approximations. As one of the main results, we show that, for each natural number $n$, a corner polyhedron with $n$ basic integer variables and an arbitrary number of continuous non-basic variables is approximated up to a constant factor by intersection cuts from lattice-free sets with at most $i$ facets if $i> 2^{n-1}$ and that no such approximation is possible if $i \leq 2^{n-1}$. When the approximation factor is allowed to depend on the denominator of the fractional vertex of the linear relaxation of the corner polyhedron, we show that the threshold is $i > n$ versus $i \leq n$. The tools introduced for proving such results are of independent interest for studying intersection cuts.

研究动机与目标

• 確立僅依賴於維度 n 的常數因子近似所必需的格點自由集合的最小複雜度。
• 確定使角落多面體實現常數因子近似的格點自由集合中面數的閾值。
• 分析近似品質如何依賴於線性放鬆中分數頂點的結構。
• 利用範數函數與格點自由單形的位似複製體，建立近似因子的緊緻界限。
• 解決關於透過具有有界面數家族的截面切割表示角落多面體的開放問題。

提出的方法

• 作者使用格點自由集合的範數函數來定義截面切割，其中針對集合 B 的切割由 $ C_B(R,f) = \{ s \geq 0 : \sum s_i \psi_{B-f}(r_i) \geq 1 \} $ 給出。
• 他們定義了 i-面閉包，即所有具有最多 $ i $ 個面的格點自由多面體生成的切割的交集。
• 關鍵技術包括構造最大格點自由單形 $ L $ 的位似複製體 $ L_\alpha $，並使用縮放因子 $ \alpha $ 來控制其相對於格點自由集合的包含關係。
• 證明使用了對維度的歸納法，並利用了若一個具有 $ i \leq n $ 個面的格點自由集合 $ B $ 包含一個縮放複製體 $ \mu L + (1-\mu)f $，則它必須包含一條連接 $ L $ 的面相對內部兩點的線段的事實。
• 他們應用反證法並基於鴿巢原理：若 $ n $ 個半空間覆蓋 $ n+1 $ 個點，則至少有一個半空間會覆蓋兩個點，意味著某條線段會與 $ B $ 的內部相交，從而與格點自由性矛盾。
• 分析區分了近似因子為絕對值（獨立於資料）與資料相關（依賴於分數頂點的分母）兩種情況。

实验结果

研究问题

• RQ1 格點自由多面體必須具備多少個面，才能生成截面切割，使角落多面體在僅依賴於維度 n 的常數因子內被近似？
• RQ2 是否存在格點自由集合中面數的嚴苛閾值，使得常數因子近似成為可能？
• RQ3 當近似因子允許依賴於線性放鬆中分數頂點的分母時，近似品質如何變化？
• RQ4 是否能使用具有 $ i \leq 2^{n-1} $ 個面的格點自由集合生成的截面切割，將角落多面體近似至常數因子？
• RQ5 位似複製體在建立近似品質緊緻界限中發揮何種作用？

主要发现

• 對於每個 $ n \in \mathbb{N} $，具有 $ n $ 個基本整數變數的角落多面體，其由具有最多 $ i $ 個面的格點自由集合生成的截面切割，可近似至僅依賴於維度 n 的常數因子，當且僅當 $ i > 2^{n-1} $。
• 若 $ i \leq 2^{n-1} $，則無法實現常數因子近似，確立了 $ 2^{n-1} $ 個面的嚴苛閾值。
• 當近似因子允許依賴於線性放鬆中分數頂點的分母時，閾值轉變為 $ i > n $ 與 $ i \leq n $。
• 證明顯示，對於 $ i \leq n $，比值 $ \rho_f(\mathcal{L}_i^n, \mathcal{L}_{i+1}^n) = \infty $，表示無法實現一致近似。
• 作者確立了當 $ i > n $ 時，$ i $-面閉包 $ C_{\mathcal{L}_i^n}(R,f) $ 對 $ \operatorname{Cor}(R,f) $ 的近似因子有界於 $ \operatorname{Flt}(n) 4^{n-1} s $，其中 $ s $ 為分數頂點的分母。
• 構造具有 $ n+2 $ 個面的最大格點自由單形 $ L $ 的位似複製體 $ L_\alpha $，在證明 $ 2^{n-1} $ 個面的嚴苛閾值中至關重要。