[论文解读] Approximation of Holder continuous homeomorphisms by piecewise affine homeomorphisms

José C. Bellido, Carlos Mora‐Corral|ArXiv.org|Jun 20, 2008

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文提出一种构造性方法，通过控制三角剖分参数（边长、角度和纵横比），利用分片仿射同胚逼近具有多边形边界平面区域之间的 Hölder 连续同胚，实现 Hölder 范数下阶数为 β 的收敛性，其中 β 仅依赖于原始 Hölder 指数 α。该逼近方法在映射及其逆映射均满足 Hölder 正则性条件下，确保了稳定性与收敛性。

ABSTRACT

This paper is concerned with the problem of approximating a homeomorphism by piecewise affine homeomorphisms. The main result is as follows: every homeomorphism from a planar domain with a polygonal boundary to R^2 that is globally Holder continuous of exponent α, and whose inverse is also globally Holder continuous of exponent αcan be approximated in the Holder norm of exponent βby piecewise affine homeomorphisms, for some βthat only depends on α. The proof is constructive. We adapt the proof of simplicial approximation in the supremum norm, and measure the side lengths and angles of the triangulation over which the approximating homeomorphism is piecewise affine. The approximation in the supremum norm, and a control on the minimum angle and on the ratio between the maximum and minimum side lengths of the triangulation suffice to obtain approximation in the Holder norm.

研究动机与目标

• 解决在 Hölder 范数下使用分片仿射同胚逼近 Hölder 连续同胚的问题。
• 建立当同胚及其逆映射均以指数 α 满足 Hölder 连续时，此类逼近可能成立的条件。
• 提供一种构造性方法，确保在仅依赖于 α 的 Hölder 范数阶数 β < α 下收敛。
• 控制三角剖分的几何性质——最小角和边长比——以保证逼近精度。

提出的方法

• 通过在三角剖分中引入几何约束，将经典的单纯逼近定理推广至 Hölder 设置。
• 通过控制三角剖分中三角形的最大和最小边长，限制逼近中的畸变。
• 确保三角形的最小角有正的下界，以防止退化并保持规则性。
• 利用上确界范数逼近误差与几何控制，推导出 β 阶 Hölder 范数的界。
• 在具有多边形边界的三角剖分区域上显式构造分片仿射同胚。
• 在给定的几何与正则性条件下，证明逼近误差的 Hölder 范数随网格细化而趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 Hölder 范数下，用分片仿射同胚逼近具有 Hölder 连续逆的 Hölder 连续同胚？
• RQ2 为确保在 Hölder 范数下收敛，三角剖分需要满足哪些几何约束？
• RQ3 逼近的 Hölder 指数 β 如何依赖于同胚的原始 Hölder 指数 α？
• RQ4 在多大程度上可通过三角剖分的几何参数控制上确界范数逼近误差？
• RQ5 是否存在一种构造性方法，可构建此类逼近并保持同胚性质？

主要发现

• 每个全局 Hölder 连续同胚（指数为 α）且其逆映射也以指数 α 满足 Hölder 连续的映射，均可在 β 阶 Hölder 范数下被分片仿射同胚逼近。
• 逼近范数中的指数 β 仅依赖于原始 Hölder 指数 α，与区域或其他几何特征无关。
• 该逼近是构造性的，依赖于对边长和角度进行控制的区域三角剖分。
• 对三角剖分中最小角及最大与最小边长之比的控制，可确保 Hölder 范数收敛。
• 该方法通过结合几何与分析估计，将经典单纯逼近推广至 Hölder 设置。
• 在给定的几何与正则性条件下，当网格尺寸减小时，逼近误差在 Hölder 范数下趋于零。