[论文解读] Approximation of Stochastic Volterra Equations with kernels of completely monotone type

Aurélien Alfonsi, Ahmed Kebaier|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2021

Stochastic processes and financial applications被引用 7

一句话总结

本文提出了一种多因子欧拉格式，用于近似高维随机Volterra方程（SVEs），其核函数为完全单调核，包括赫斯特参数 H ∈ (0, 1/2) 的奇异分数阶核。通过利用核函数逼近的马尔可夫表示，该方法实现了均匀强收敛的高效欧拉离散化，并显著降低计算成本，在粗糙Heston模型的期权定价中优于标准SVE欧拉格式。

ABSTRACT

In this work, we develop a multifactor approximation for $d$-dimensional Stochastic Volterra Equations (SVE) with Lipschitz coefficients and kernels of completely monotone type that may be singular. First, we prove an $L^2$-estimation between two SVEs with different kernels, which provides a quantification of the error between the SVE and any multifactor Stochastic Differential Equation (SDE) approximation. For the particular rough kernel case with Hurst parameter lying in $(0,1/2)$, we propose various approximating multifactor kernels, state their rates of convergence and illustrate their efficiency for the rough Bergomi model. Second, we study a Euler discretization of the multifactor SDE and establish a convergence result towards the SVE that is uniform with respect to the approximating multifactor kernels. These obtained results lead us to build a new multifactor Euler scheme that reduces significantly the computational cost in an asymptotic way compared to the Euler scheme for SVEs. Finally, we show that our multifactor Euler scheme outperforms the Euler scheme for SVEs for option pricing in the rough Heston model.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有Lipschitz系数和完全单调核（包括奇异分数阶核）的d维SVEs的多因子近似方法。
• 建立具有不同核的SVEs之间的L²估计，量化原始SVE与其多因子SDE近似之间的误差。
• 设计一种新型多因子欧拉格式，与直接SVE欧拉格式相比，实现计算成本的渐近降低。
• 通过数值实验，展示该格式在粗糙Heston模型期权定价中的优越性。

提出的方法

• 通过在 [0, K] 上截断并离散化测度，将SVE核近似为指数函数之和，将非马尔可夫SVE转化为高维马尔可夫SDE。
• 推导具有不同核的SVEs之间的L²估计，为多因子近似提供非渐近误差界。
• 在包含N个时间步的均匀网格上对所得多因子SDE应用欧拉离散化，证明其关于近似核的均匀收敛性。
• 通过将分数阶核近似为指数函数之和，为粗糙Bergomi和粗糙Heston模型构建多因子欧拉格式。
• 对积分波动率和波动率过程采用相同的离散化格式，实现一致且高效的蒙特卡洛模拟。
• 通过利用多因子近似中的马尔可夫结构，实现方差缩减和多级蒙特卡洛技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有完全单调核的原始SVE，多因子SDE近似相对于近似核的强收敛速率是多少？
• RQ2 SVE与其多因子近似之间的误差如何依赖于核近似的质量与截断参数？
• RQ3 多因子欧拉格式是否能实现关于近似核的均匀收敛？其收敛速率如何？
• RQ4 随着时间步长减小，多因子欧拉格式的计算成本与直接SVE欧拉格式相比如何变化？
• RQ5 在粗糙波动率模型（如粗糙Heston）的期权定价中，多因子格式是否优于标准SVE欧拉格式？

主要发现

• 多因子欧拉格式实现了关于近似核的均匀强收敛，确保在不同核近似下均具有鲁棒性。
• 对于赫斯特参数 H ≈ 0.1 的粗糙核，多因子近似的主要误差来源于SVE本身，而非核近似，因此可采用较粗糙的核近似。
• 与直接SVE欧拉格式相比，多因子欧拉格式在计算成本上实现了渐近降低，且随着N增大，计算时间显著更优。
• 数值结果表明，多因子格式生成的欧式期权和回望期权价格与SVE欧拉格式相当，但计算时间大幅减少。
• 当 N = 320 时，多因子格式计算回望期权定价仅需 775 秒，而SVE欧拉格式需要 3130 秒，实现了4倍加速。