[论文解读] Approximation of the Long-term Dynamics of the Dynamical System Generated by the Two-dimensional Thermohydraulics Equations

Florentina Tone|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2011

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 14被引用 13

一句话总结

该论文建立了从半隐式欧拉格式的全局吸引子向二维热流体力学方程连续系统的全局吸引子的收敛性。通过离散Gronwall引理和多值吸引子理论，证明了H¹范数下的统一稳定性，并表明当时间步长趋于零时，离散吸引子收敛于连续吸引子。

ABSTRACT

Pursuing our work in [18], [17], [20], [5], we consider in this article the two-dimensional thermohydraulics equations. We discretize these equations in time using the implicit Euler scheme and we prove that the global attractors generated by the numerical scheme converge to the global attractor of the continuous system as the time-step approaches zero.

研究动机与目标

• 将Navier-Stokes方程的H¹统一稳定性结果推广至二维热流体力学方程。
• 在离散设置中利用最大值原理处理温度项的挑战。
• 建立隐式欧拉格式生成的全局吸引子向连续系统吸引子的收敛性。
• 通过多值吸引子理论处理由于时间步长约束导致的解的非唯一性问题。
• 与先前关于Navier-Stokes方程的工作相比，简化证明技术。

提出的方法

• 使用隐式欧拉格式对二维热流体力学方程进行时间半离散化。
• 应用经典和统一的离散Gronwall引理，证明速度场和温度场的H¹统一稳定性。
• 利用最大值原理控制离散系统中的温度分量。
• 建立所有时间步长下离散解在L²和H¹范数下的统一有界性。
• 应用多值吸引子理论，处理由时间步长约束引起的解的非唯一性问题。
• 采用Hausdorff半距离度量离散吸引子向连续吸引子的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间步长趋于零时，二维热流体力学方程全隐式欧拉格式的全局吸引子是否收敛于连续系统的吸引子？
• RQ2 是否能在热流体力学系统中为离散速度场和温度场建立H¹统一稳定性？
• RQ3 如何处理离散格式中解的非唯一性问题，以定义有意义的吸引子？
• RQ4 最大值原理在温度分量的稳定性与收敛性分析中起到何种作用？
• RQ5 Navier-Stokes方程的证明技术在多大程度上可被适配至热流体力学系统？

主要发现

• 证明了所有时间步长下，离散速度场和温度场在H¹范数下具有统一有界性。
• 隐式欧拉格式生成的全局吸引子在时间步长k趋于零时收敛于连续系统的全局吸引子。
• 收敛性通过Hausdorff半距离量化，满足 lim_{k→0} dist(𝒜_k, 𝒜) = 0。
• 通过离散Gronwall引理和最大值原理技术，证明了离散系统的H¹统一稳定性。
• 分析表明，连续系统的长期动力学可被离散格式有效逼近。
• 该方法简化了先前针对Navier-Stokes方程的证明，并将其推广至存在额外温度处理挑战的热流体力学系统。