[论文解读] Approximation Properties of Locally Convex Spaces and the Problem of Uniqueness of the Trace of a Linear Operator

G. L. Litvinov|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明，在局部凸空间中，有界逼近性质可确保所有弗雷德霍姆算子的迹唯一，从而解决了泛分析领域长期存在的问题。研究证明，仅靠逼近性质不足以保证迹的唯一性，而有界逼近性质则能确保迹的定义良好，推广了此前在巴拿赫空间和局部凸空间中关于核算子与弗雷德霍姆算子迹的研究结果。

ABSTRACT

In the present article, it is proved that every nuclear operator in a locally convex space E has a well-defined trace if E possesses the approximation property. However, even if a space possesses the approximation property this still does not guarantee a positive solution of A. Grothendieck's uniqueness problem for this space. Below, we present an example of a quasi-complete space with the approximation property in which it is not possible to define the trace for all Fredholm operators (in the sense of A. Grothendieck). We prove that the uniqueness problem has a positive solution if E possesses the "bounded approximation property." Preliminary information and results are presented in Section 2. A number of approximation-type properties of locally convex spaces and relations between these properties are considered in Section 3. The principal results of the present study, along with certain corollaries from these results (for example, the existence of a matrix trace), may be found in Section 4.

研究动机与目标

• 解决局部凸空间中线性算子迹的唯一性问题。
• 阐明弗雷德霍姆算子迹有良好定义且与表示无关的条件。
• 研究逼近性质与唯一迹存在性之间的关系。
• 证明逼近性质本身不足以保证迹的唯一性，必须依赖更强的有界逼近性质。

提出的方法

• 通过张量积表示分析局部凸空间中的弗雷德霍姆算子与核算子。
• 应用格罗滕迪克的对偶框架，涉及强对偶空间 $E'$ 和有界集上的闵可夫斯基泛函。
• 利用弱算子拓扑收敛性与有界网建立迹的连续性。
• 引入有界逼近性质作为迹唯一性的充分条件。
• 通过施瓦兹基构造矩阵迹，推导迹的表达式。
• 利用引理5与推论3，证明在弱算子拓扑下迹的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，局部凸空间中弗雷德霍姆算子的迹是唯一定义的？
• RQ2 仅靠逼近性质是否足以保证所有弗雷德霍姆算子的迹唯一？
• RQ3 有界逼近性质在确保迹唯一性方面起什么作用？
• RQ4 具有施瓦兹基的拓扑空间中，矩阵迹与抽象迹之间有何关系？
• RQ5 具有逼近性质的拟完备空间是否仍可能不支持唯一迹？

主要发现

• 有界逼近性质是局部凸空间中每个弗雷德霍姆算子迹唯一的充分条件。
• 具有逼近性质的拟完备局部凸空间仍可能无法为所有弗雷德霍姆算子定义良好的迹。
• 在具有施瓦兹基的空间中，每个弗雷德霍姆算子的迹均有良好定义，且与矩阵迹 $\sum_{i=1}^\infty \langle e'_i, F e_i \rangle$ 一致。
• 若 $\{A_\nu\}$ 是 $S(E)$ 中的网，弱收敛且有界，则对每个弗雷德霍姆算子 $F$，有 $\operatorname{tr}(F A_\nu) \to \operatorname{tr}(F A)$。
• 若恒等算子是有限秩算子的弱极限，则迹有良好定义，且等于有限维迹的极限。
• 存在一个具有逼近性质但不具有有界逼近性质的拟完备空间，表明这两个性质是不同的。