[论文解读] Approximation properties of simple Lie groups made discrete

Søren Knudby, Kang Li|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文建立了在赋予离散拓扑的连通单李群上，Haagerup 性质、弱可乘性与弱 Haagerup 性质的等价性。关键结果表明，对于此类群，这三个逼近性质彼此等价，且弱可乘性常数恰好为 1，通过证明对任意域 K，GL(2,K) 的弱可乘性常数为 1，将连续情形下的已知结果推广至离散情形。

ABSTRACT

In this paper we consider the class of connected simple Lie groups equipped with the discrete topology. We show that within this class of groups the following approximation properties are equivalent: (1) the Haagerup property; (2) weak amenability; (3) the weak Haagerup property. In order to obtain the above result we prove that the discrete group GL(2,K) is weakly amenable with constant 1 for any field K.

研究动机与目标

• 研究当赋予离散拓扑时，连通单李群的逼近性质——Haagerup 性质、弱可乘性与弱 Haagerup 性质。
• 确定在离散情形下，这些性质是否等价，尤其是在连续情形下已知等价的前提下。
• 证明对任意域 K，GL(2,K) 的弱可乘性常数为 1，作为基础性结果。
• 将逼近性质在连续李群上的分类结果推广至其离散对应物。
• 解决关于离散群中弱可乘性与 Haagerup 性质之间关系的开放问题。

提出的方法

• 作者分析连通单李群上的离散拓扑，将其视为保持其代数结构的离散群。
• 利用实秩为 0 和 1 的单李群的分类，将问题约化为有限多个情形。
• 应用李群理论中的结果，包括 Iwasawa 分解和普遍覆盖群，以分析相关群的中心与基本群。
• 利用弱可乘性常数在有限覆盖下保持不变的性质，并应用关于 Herz-Schur 多重化算子与算子范数 B2-范数的已知结果。
• 利用较小群（如 SU(3)、SO(5)）在更大单李群中的包含关系，将问题约化至最小情形。
• 通过矩阵群在任意域上的表示论与组合技巧，证明 GL(2,K) 的弱可乘性常数为 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在离散单李群中，Haagerup 性质是否蕴含弱可乘性常数为 1？
• RQ2 对于离散连通单李群，弱 Haagerup 性质与弱可乘性是否等价？
• RQ3 对任意域 K，GL(2,K) 的弱可乘性常数是否为 1？该结果是否蕴含更广泛的结构性后果？
• RQ4 离散化的单李群是否继承其连续对应物的逼近性质？
• RQ5 连续情形下逼近性质的等价性是否可推广至离散拓扑？

主要发现

• 对任意赋予离散拓扑的连通单李群 G，Haagerup 性质、弱可乘性与弱 Haagerup 性质三者完全等价。
• 对所有此类群，弱可乘性常数 ΛWA(Gd) 恰好为 1，这意味着弱 Haagerup 常数 ΛWH(Gd) 同样为 1。
• 对任意域 K，GL(2,K) 的弱可乘性常数为 1，这是贯穿全文的关键技术结果。
• 当 n≥2 时，SU(1,n) 的离散普遍覆盖群不具有弱 Haagerup 性质，尽管其弱可乘性常数为 1。
• 对实秩为 0 的群（即紧致单李群），若不与 SU(2) 同构，则其离散群 Gd 不具有弱 Haagerup 性质，此情况由假设排除。
• 当且仅当 G 为紧致群，或局部同构于 SO₀(1,n)、SU(1,n)、Sp(1,n) 或 F₄(−20)，或同构于 SU(1,n) 的普遍覆盖群时，这三个性质才等价。