[论文解读] Approximations for the Caputo Derivative (I)

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Fractional Differential Equations Solutions被引用 8

一句话总结

本文提出了针对阶数为 $2 - \alpha$、$2$ 和 $3 - \alpha$ 的Caputo分数阶导数的高阶数值逼近方法，采用基于 $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ 和 $(k+1)^{-\alpha} - (k-1)^{-\alpha}$ 的权重，并通过端点权重修正提升了精度。新逼近公式 (9) 在所有测试的分数阶松弛方程中均优于标准 $L1$ 格式。

ABSTRACT

In this paper we construct approximations for the Caputo derivative of order $1-α,2-α,2$ and $3-α$. The approximations have weights $0.5\left((k+1)^{-α}-(k-1)^{-α} ight)/Γ(1-α)$ and $k^{-1-α}/Γ(-α)$, and the higher accuracy is achieved by modifying the initial and last weights using the expansion formulas for the left and right endpoints. The approximations are applied for computing the numerical solution of ordinary fractional differential equations. The properties of the weights of the approximations of order $2-α$ are similar to the properties of the $L1$ approximation. In all experiments presented in the paper the accuracy of the numerical solutions using the approximation of order $2-α$ which has weights $k^{-1-α}/Γ(-α)$ is higher than the accuracy of the numerical solutions using the $L1$ approximation for the Caputo derivative.

研究动机与目标

• 开发超越标准 $L1$ 格式的Caputo导数更高阶数值逼近方法。
• 通过渐近展开法修正初始和末尾权重，提升求解分数阶微分方程的精度。
• 构建基于 $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ 和 $(k+1)^{-\alpha} - (k-1)^{-\alpha}$ 的权重逼近方法，适用于阶数 $2 - \alpha$、$2$ 和 $3 - \alpha$。
• 在数值实验中展示新方法相较于 $L1$ 逼近的更高收敛速率与更小误差。

提出的方法

• 基于 $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ 和 $((k+1)^{-\alpha} - (k-1)^{-\alpha})/\Gamma(1-\alpha)$ 的系数，推导Caputo导数的加权和逼近公式。
• 应用渐近展开技术调整首尾权重，提升端点处的精度。
• 采用步长为 $h = x/n$ 的有限差分格式对Caputo导数进行离散化。
• 在数值实验中以 $L1$ 逼近作为对比基准。
• 通过求解已知解析解涉及Mittag-Leffler函数的分数阶松弛方程验证收敛性。
• 利用精确解计算误差与收敛阶，参数取 $\alpha = 0.25, 0.5, 0.75$。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于 $k^{-\alpha}/\Gamma(-\alpha)$ 的权重能否使Caputo导数逼近的精度高于 $L1$ 格式？
• RQ2 端点权重的修改如何影响分数阶微分方程数值解的收敛阶与误差？
• RQ3 新逼近公式 (9) 相较于 $L1$ 方法在分数阶松弛方程中的收敛速率如何？
• RQ4 新逼近公式 (12) 在误差与收敛阶方面是否均优于 $L1$ 和公式 (9)？

主要发现

• 在所有测试的分数阶松弛方程中，新逼近公式 (9) 的精度均高于 $L1$ 格式与逼近公式 (12)。
• 当 $\alpha = 0.25$ 时，$h = 0.00078125$ 处逼近公式 (9) 的误差为 $4.3 \times 10^{-6}$，收敛阶为 1.7150，优于 $L1$ 与 (12)。
• 当 $\alpha = 0.5$ 时，$h = 0.00078125$ 处逼近公式 (9) 的误差为 $6.5 \times 10^{-6}$，收敛阶为 1.4931，再次优于 $L1$ 与 (12)。
• 当 $\alpha = 0.75$ 时，$h = 0.00078125$ 处逼近公式 (9) 的误差为 $0.0004290$，收敛阶为 1.2482，表现出一致的优越性。
• 使用逼近公式 (9) 的数值解收敛阶为 $O(h^{2-\alpha})$，与 $L1$ 格式的理论收敛速率一致，但误差更低。
• 逼近公式 (12) 在所有测试案例中精度均高于 $L1$ 与 (9)，在方程 II 中 $h = 0.00078125$ 处误差低至 $1.7 \times 10^{-9}$，方程 I 的收敛阶接近 2.75。