[论文解读] Arbitrage-free pricing of American options in nonlinear markets

Edward Kim, Tianyang Nie+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文通过倒向随机微分方程（BSDEs）构建了非线性金融市场中美式期权的无套利定价框架。在一般动态和违约风险设定下，建立了持有者理性行权时间与发行人盈亏平衡时间一致的条件，将经典结果推广至非线性情形。

ABSTRACT

We re-examine and extend the findings from the recent paper by Dumitrescu, Quenez and Sulem (2018) who studied American and game options in a particular market model using the nonlinear arbitrage-free pricing approach developed in El Karoui and Quenez (1997). In the first part, we provide a detailed study of unilateral valuation problems for the two counterparties in an American-style contract within the framework of a general nonlinear market. We extend results from Bielecki and Rutkowski (2015) and Bielecki, Cialenco and Rutkowski (2018) who examined the case of a European-style contract. In the second part, we present a BSDE approach, which is used to establish more explicit pricing, hedging and exercising results when solutions to reflected BSDEs have additional desirable properties.

研究动机与目标

• 将美式期权的单边估值与对冲框架从线性市场模型扩展至一般非线性市场。
• 在非线性定价测度下，刻画发行人与持有者之间的公平且可接受的价格。
• 建立持有者理性行权时间与发行人盈亏平衡时间一致的条件。
• 在驱动函数与过滤流的一般假设下，利用反射BSDE提供显式定价与对冲结果。
• 将先前关于最优停止与非线性期望的研究推广至具有非对称行权权利的美式期权设定。

提出的方法

• 使用从BSDE导出的非线性期望算子 $\mathcal{E}^{g,h}$ 来建模不完全、非线性市场中的动态定价与对冲。
• 应用具有单个反射屏障的反射BSDE，以建模发行人投资组合的价值过程与持有者收益过程。
• 对非线性期望 $\mathcal{E}^{g,h}$ 强制施加严格比较性质，以确保在不同停止时间下估值的唯一性与一致性。
• 将理性行权时间定义为停止时间 $\tau$，此时持有者的继续持有价值等于即时收益，使用过程 $x_t = V_t(x_2 - \hat{p}^{r,h}, \psi)$。
• 引入发行人盈亏平衡时间的概念，即剩余索取权的价值等于行权收益的时刻，并通过BSDE解中的等式关系将其与理性行权时间关联。
• 采用类似Skorokhod的反射条件，并利用局部时间过程 $k_t$ 的连续性，刻画最晚的理性行权时间 $\bar{\tau}^h$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性市场中，美式期权持有者的理性行权时间在何种条件下与发行人的盈亏平衡时间一致？
• RQ2 在一般非线性市场模型中，如何一致地定义双方参与方的单边定价与对冲？
• RQ3 非线性期望 $\mathcal{E}^{g,h}$ 的严格比较性质在确保定价与行权策略的唯一性与一致性方面发挥何种作用？
• RQ4 反射BSDE解的性质如何影响非线性设定下最优停止时间的刻画？
• RQ5 能否通过驱动函数结构与局部时间过程 $k_t$ 显式识别最早与最晚的理性行权时间？

主要发现

• 最早理性行权时间 $\tau^h$ 被定义为满足持有者继续持有价值等于即时收益的首个时间 $t$，即 $y_t = x_t$，其中 $y_t = \mathcal{E}^{g,h}_{t,T}(x_T)$。
• 最晚理性行权时间 $\bar{\tau}^h$ 存在，且满足 $k_{\bar{\tau}^h} = 0$ 与 $y_{\bar{\tau}^h} = x_{\bar{\tau}^h}$，前提是局部时间过程 $k_t$ 连续。
• 当发行人的理性价格 $\hat{p}^{r,h}$ 等于卖方价格 $\hat{p}^{s,h}$ 时，在任意理性行权时间 $\tau$ 处有 $V_\tau(x_2 - \hat{p}^{r,h}, \psi) = x_\tau$，这意味着理性行权时间同时也是盈亏平衡时间。
• 过程 $y_t = \mathcal{E}^{g,h}_{t,T}(x_T)$ 在任意理性行权时间 $\tau^\prime$ 的区间 $[0, \tau^\prime]$ 上是 $\mathcal{E}^{g,h}$-鞅，意味着 $k_{\tau^\prime} = 0$。
• 若 $\tau^\prime$ 为理性行权时间，则 $\mathcal{E}^{g,h}_{0,\tau^\prime}(x_{\tau^\prime}) = \mathcal{E}^{g,h}_{0,\tau^\prime}(y_{\tau^\prime}) = y_0$，且严格比较性质意味着 $y_{\tau^\prime} = x_{\tau^\prime}$。
• 局部时间过程 $k_t$ 的连续性对于确保 $\bar{\tau}^h$ 为理性行权时间至关重要；若不连续，则 $k_{\bar{\tau}^h} \neq 0$ 可能导致 $\bar{\tau}^h$ 不是理性行权时间。