[论文解读] (Arc-disjoint) cycle packing in tournament: classical and parameterized complexity

Stéphane Bessy, Marin Bougeret+5 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 2

一句话总结

本文证明了竞赛图中弧不相交环打包和三角形打包问题的NP难性，建立了参数化三角形打包问题的顶点线性核，并提出了在反馈弧集构成匹配的稀疏竞赛图中，这些问题的多项式时间算法。该研究弥合了经典复杂性与参数化复杂性之间的鸿沟，解决了关于竞赛图中反馈弧集对偶问题的长期算法理解空白。

ABSTRACT

A tournament is a directed graph in which there is a single arc between every pair of distinct vertices. Given a tournament T on n vertices, we explore the classical and parameterized complexity of the problems of determining if T has a cycle packing (a set of pairwise arc-disjoint cycles) of size k and a triangle packing (a set of pairwise arc-disjoint triangles) of size k. We refer to these problems as Arc-disjoint Cycles in Tournaments (ACT) and Arc-disjoint Triangles in Tournaments (ATT), respectively. Although the maximization version of ACT can be seen as the linear programming dual of the well-studied problem of finding a minimum feedback arc set (a set of arcs whose deletion results in an acyclic graph) in tournaments, surprisingly no algorithmic results seem to exist for ACT. We first show that ACT and ATT are both NP-complete. Then, we show that the problem of determining if a tournament has a cycle packing and a feedback arc set of the same size is NP-complete. Next, we prove that ACT and ATT are fixed-parameter tractable, they can be solved in 2^{O(k log k)} n^{O(1)} time and 2^{O(k)} n^{O(1)} time respectively. Moreover, they both admit a kernel with O(k) vertices. We also prove that ACT and ATT cannot be solved in 2^{o(sqrt{k})} n^{O(1)} time under the Exponential-Time Hypothesis.

研究动机与目标

• 研究竞赛图中弧不相交环打包（MaxCT）与三角形打包（MaxTT）的经典复杂性与参数化复杂性。
• 确定MaxCT与MaxTT是否为NP难问题，特别是与反馈弧集问题的关系。
• 探索当以解大小为参数时，MaxTT是否存在固定参数可追踪（FPT）算法与核化方法。
• 为反馈弧集为匹配的稀疏竞赛图，开发MaxCT与MaxTT的多项式时间算法。
• 澄清环打包大小与反馈弧集大小之间的关系，特别是二者在竞赛图中是否可能相等。

提出的方法

• 通过从3-SAT的一种变体约化，证明了MaxCT与MaxTT的NP难性，同时在指数时间假设（ETH）下建立了2^o(√k)的下界。
• 证明了判断一个竞赛图是否同时存在大小相等的环打包与反馈弧集的问题是NP完全的，意味着对于反馈弧集问题在最大环打包大小之上参数化，不存在FPT算法。
• 设计了一个O*(2^k)的FPT算法用于k-MaxTT（以解大小为参数的三角形打包），利用反馈弧集结构进行动态规划。
• 通过将顶点数减少到O(k)而保持解大小不变，建立了k-MaxTT的线性顶点核。
• 通过利用反馈弧集为匹配的结构特性，提出了MaxTT与MaxCT在稀疏竞赛图中的多项式时间算法。
• 使用有向图分解与强连通分量分析，建模最优解结构，特别是通过分析辅助有向图中的终端强连通分量与入树。

实验结果

研究问题

• RQ1 竞赛图中的弧不相交环打包问题（MaxCT）是否为NP难？
• RQ2 当以解大小为参数时，三角形打包问题（MaxTT）是否具有固定参数可追踪算法？
• RQ3 k-MaxTT能否被核化为与解大小成线性关系的顶点数？
• RQ4 对于反馈弧集为匹配的竞赛图，MaxCT与MaxTT是否可在多项式时间内求解？
• RQ5 判断一个竞赛图是否同时存在大小相等的环打包与反馈弧集是否为NP完全问题？

主要发现

• MaxCT与MaxTT均为NP难，即使在反馈弧集大小等于环打包大小的竞赛图中亦然。
• 判断一个竞赛图是否同时存在大小相等的环打包与反馈弧集的问题是NP完全的。
• k-MaxTT具有O*(2^k)的FPT算法，为小规模解提供了高效解法。
• k-MaxTT具有大小为O(k)的顶点线性核，意味着可在不改变解的前提下将问题预处理为O(k)个顶点。
• 在稀疏竞赛图（反馈弧集为匹配）中，MaxTT与MaxCT均可在多项式时间内求解。
• 在完全稀疏竞赛图中，最大环打包的大小等于最大三角形打包的大小，确认了在稀疏性条件下二者具有结构等价性。