[论文解读] Are problems in Quantum Information Theory (un)decidable?

Michael M. Wolf, Toby S. Cubitt+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用 19

一句话总结

本文利用模型论工具研究了量子信息理论中基本问题的算法可判定性。它表明，半代数问题（例如纠缠、可 distill 化性、零误差容量）可通过 Tarski–Seidenberg 量词消去法判定，而渐近或涉及整数量词的问题——如保真度阈值可达性或隐变量模型的存在性——往往由于约化至不可判定的字问题（如 Post 的对应问题或矩阵可幂性问题）而不可判定。

ABSTRACT

This note is intended to foster a discussion about the extent to which typical problems arising in quantum information theory are algorithmically decidable (in principle rather than in practice). Various problems in the context of entanglement theory and quantum channels turn out to be decidable via quantifier elimination as long as they admit a compact formulation without quantification over integers. For many asymptotically defined properties which have to hold for all or for one integer N, however, effective procedures seem to be difficult if not impossible to find. We review some of the main tools for (dis)proving decidability and apply them to problems in quantum information theory. We find that questions like "can we overcome fidelity 1/2 w.r.t. a two-qubit singlet state?" easily become undecidable. A closer look at such questions might rule out some of the "single-letter" formulas sought in quantum information theory.

研究动机与目标

• 确定量子信息理论中的核心问题在原则上在算法上可判定的范围。
• 识别尽管存在潜在可判定工具但仍保持未决的问题。
• 探讨不可判定性对量子信息理论中“单字母”公式存在性的影响。
• 根据问题是否能以不涉及整数量词的紧凑形式表达，对问题进行分类。
• 研究量词消去法和字问题约化在建立可判定性或不可判定性中的作用。

提出的方法

• 将 Tarski–Seidenberg 量词消去法应用于量子信息中的半代数问题，将含有实变量量词的公式约化为无量词等价形式。
• 使用模型论技术证明涉及纠缠、$n$-可 distill 化性、隐变量模型和零误差容量等问题的可判定性。
• 通过构造涉及量子通道和态重叠的方式，将不可判定性约化至已知的不可判定问题，如 Post 的对应问题（PCP）和矩阵可幂性问题。
• 构造量子通道和态，使得与纯态的迹重叠编码了矩阵乘积动力学，从而实现向字问题的约化。
• 采用参数化的量子通道族 $T_i$，用于模拟矩阵乘积序列，其保真度结果取决于矩阵乘积。
• 利用实闭域上指数函数和受限解析函数的结果，将可判定性结果扩展至基本半代数逻辑之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些量子信息理论问题可通过实闭域理论中的量词消去法判定？
• RQ2 在何种条件下，量子信息中的渐近或整数量词问题会变得不可判定？
• RQ3 能否算法性地判定量子关联是否存在局部隐变量模型？
• RQ4 判断一个量子通道能否与贝尔态实现超过 1/2 的保真度阈值的问题是否可判定？
• RQ5 不可判定性结果在多大程度上排除了量子容量的“单字母”表征的存在？

主要发现

• 诸如纠缠检测、$n$-可 distill 化性以及 $d$ 维量子表示存在性等问题，可通过 Tarski–Seidenberg 量词消去法判定。
• 当以半代数形式表述时，$n$-次零误差容量和加法最小输出熵是可判定的。
• 给定一个量子态能否与两量子比特贝尔态实现超过 1/2 的保真度，该问题是不可判定的。
• 不可判定性源于对 Post 对应问题的约化：对于某些通道族，判断是否可达保真度阈值等价于求解一个不可判定的字问题。
• 提供了一种构造，使得迹重叠 $\mathrm{tr}[\phi T_{i_1} \cdots T_{i_n}(\rho)]$ 编码了矩阵乘积动力学，从而实现向 PCP 的约化。
• 矩阵可幂性和 PCP 的不可判定性意味着，不存在通用算法可判定某一序列的量子通道是否能生成目标保真度。