[论文解读] Area laws and efficient descriptions of quantum many-body states

Yimin Ge, Jens Eisert|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Quantum many-body systems参考文献 20被引用 5

一句话总结

该论文表明，在 D ≥ 2 维情况下，满足所有 Rényi 熵面积律的量子多体态可构成指数维的子空间，这意味着它们无法被 PEPS 或 MERA 等张量网络高效描述，也无法通过含后选择的多项式大小量子线路制备。关键结果是，仅凭面积律不足以实现高效的经典或量子模拟，挑战了量子多体物理中广泛持有的假设。

ABSTRACT

It is commonly believed that area laws for entanglement entropies imply that a quantum many-body state can be faithfully represented by efficient tensor network states - a conjecture frequently stated in the context of numerical simulations and analytical considerations. In this work, we show that this is in general not the case, except in one dimension. We prove that the set of quantum many-body states that satisfy an area law for all Renyi entropies contains a subspace of exponential dimension. Establishing a novel link between quantum many-body theory and the theory of communication complexity, we then show that there are states satisfying area laws for all Renyi entropies but cannot be approximated by states with a classical description of small Kolmogorov complexity, including polynomial projected entangled pair states (PEPS) or states of multi-scale entanglement renormalisation (MERA). Not even a quantum computer with post-selection can efficiently prepare all quantum states fulfilling an area law, and we show that not all area law states can be eigenstates of local Hamiltonians. We also prove translationally invariant and isotropic instances of these results, and show a variation with decaying correlations using quantum error-correcting codes.

研究动机与目标

• 挑战普遍认为面积律意味着可通过 PEPS 或 MERA 等张量网络实现高效描述的假设。
• 研究面积律态是否可被低柯尔莫哥洛夫复杂度的态近似，或通过高效量子线路制备。
• 明确物理上相关的量子态与可高效模拟的态之间的边界，特别是在高维情况下。
• 证明即使在平移不变性、旋转对称性或关联衰减的条件下，面积律态仍可能难以高效描述。
• 探讨其对量子物相分类及纠缠在量子模拟中作用的影响。

提出的方法

• 通过将 (D−1) 维量子态嵌入 D 维超平面，在 D 维晶格上构造一族量子态，保持其纠缠结构。
• 证明此类嵌入态对所有 Rényi 熵 Sα 均满足面积律，因嵌入的几何约束导致纠缠熵按 O(|∂A|) 缩放。
• 利用通信复杂性理论证明，所构造的面积律态子空间具有指数维，意味着不存在短的类经典描述。
• 证明即使使用含后选择的多项式大小量子线路，也无法高效制备所有面积律态，因其底层子空间具有指数复杂度。
• 通过构造显式反例，证明并非所有面积律态都是局部哈密顿量的本征态。
• 将结果推广至平移和旋转对称情形，并表明即使关联呈代数衰减，态仍难以高效描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 D ≥ 2 时，所有满足面积律的量子多体态是否都能被 PEPS 或 MERA 等张量网络态高效描述？
• RQ2 是否能通过含后选择的多项式大小量子线路高效制备所有面积律态？
• RQ3 面积律是否意味着态可被低柯尔莫哥洛夫复杂度的经典描述近似？
• RQ4 具有额外物理对称性（如平移或旋转不变性）的面积律态是否仍可能抵抗高效经典或量子模拟？
• RQ5 是否存在并非任何局部哈密顿量本征态的面积律态，即使在能隙系统中亦如此？

主要发现

• 在 D ≥ 2 时，满足所有 Rényi 熵面积律的量子多体态集合中，包含一个维度为 exp(Ω(L^{D-1})) 的子空间，其随系统尺寸呈指数增长。
• 该指数维子空间无法被任何具有多项式柯尔莫哥洛夫复杂度的经典描述近似，包括 PEPS 或 MERA。
• 即使使用含后选择的量子线路，也无法高效制备所有面积律态，因其底层子空间具有指数复杂度。
• 存在并非任何局部哈密顿量本征态的面积律态，表明面积律不意味着物理性（即作为基态存在）。
• 即使在平移和旋转对称性，以及关联代数衰减的条件下，结果依然成立。
• 利用通信复杂性构造的此类面积律态提供了一类半显式的例子，其无短经典描述，凸显了纠缠尺度与可模拟性之间的根本鸿沟。