[论文解读] Arens Regularity and Module Arens Regularity of Module Actions

Kazem Haghnejad Azar|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文将 Arens 正则性和模 Arens 正则性推广至 Banach 代数的右和左模作用，引入了模作用的拓扑中心，并通过相关映射的弱紧性与消去子条件刻画了模 Arens 正则性。关键贡献在于提出了模 Arens 正则性的充要条件：模块作用的第三扩展与转置第三扩展之间的差属于特定理想 J 的双消去子，从而将正则性与模和代数的结构联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we extend some problems from Arens regularity and module Arens regularity of Banach algebras to module actions.

研究动机与目标

• 将 Arens 正则性从 Banach 代数推广至模作用，特别是右和左 Banach 模结构。
• 为左和右模作用定义并分析模作用的拓扑中心，特别是 $ Z_{A^{**}}(B^{**}) $ 和 $ Z_{B^{**}}(A^{**}) $。
• 为右 Banach $ A $-模 $ B $ 的模 Arens 正则性建立必要且充分条件，将其与弱紧性和消去子理想联系起来。
• 通过在 $ B = A $ 时恢复经典定理（如 [5] 和 [10] 中的定理）作为特例，统一并扩展已知的 Arens 正则性结果。

提出的方法

• 为双线性模作用 $ \rho: B \times A \to B $ 定义拓扑中心 $ Z_1(\rho) $ 和 $ Z_2(\rho) $，利用其第三对偶扩展的弱*-到弱*连续性。
• 构造模作用 $ \rho $ 的第三对偶扩展 $ \rho^{***} $ 和 $ \rho^{t***t} $，并通过比较定义 Arens 正则性。
• 引入由元素 $ a_1 b a_2 - b a_1 a_2 $ 生成的理想 $ J \triangleleft A $，并定义其消去子 $ J^\bot $，该消去子刻画了映射 $ T_{b'}: b \to b'b $ 作为 $ A $-模同态的条件。
• 利用 Goldstine 定理将 $ A^{**} $ 和 $ B^{**} $ 中的元素表示为 $ A $ 和 $ B $ 中网的弱*极限，从而实现对迭代极限的分析。
• 建立模 Arens 正则性与条件 $ \rho^{***}(b^{**}, a^{**}) - \rho^{t***t}(b^{**}, a^{**}) \notin J^{\bot\bot} $ 的等价性，将正则性与 $ J $ 的双消去子联系起来。
• 证明模 Arens 正则性等价于当 $ b' \notin J^\bot $ 时，映射 $ T_{b'}: b \to b'b $ 的弱紧性，以及存在 $ B^* $ 的一个在 $ A^{**} $ 中稠密的线性张成，使得迭代极限可交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，右模作用 $ \rho_r: B \times A \to B $ 被视为模 Arens 正则？
• RQ2 拓扑中心 $ Z_{A^{**}}(B^{**}) $ 和 $ Z_{B^{**}}(A^{**}) $ 如何与模作用第三对偶扩展的弱*-到弱*连续性相关？
• RQ3 由 $ a_1 b a_2 - b a_1 a_2 $ 生成的理想 $ J \triangleleft A $ 在刻画模 Arens 正则性中起什么作用？
• RQ4 当 $ b' \notin J^\bot $ 时，映射 $ T_{b'}: b \to b'b $ 的弱紧性如何与迭代极限条件 $ \nolimits_{m}\nolimits_{n} \to \nolimits_{n}\nolimits_{m} $ 相关联？
• RQ5 当 $ B = A $ 时，这些结果如何恢复或推广 [5] 和 [10] 中的已知定理？

主要发现

• 双线性映射 $ \rho_r: B \times A \to B $ 是模 Arens 正则的，当且仅当对所有 $ a^{**} \notin A^{**} $，$ b^{**} \notin B^{**} $，有 $ \rho_r^{***}(b^{**}, a^{**}) - \rho_r^{t***t}(b^{**}, a^{**}) \notin J^{\bot\bot} $，其中 $ J $ 是由 $ a_1 b a_2 - b a_1 a_2 $ 生成的闭右理想。
• 模 Arens 正则性成立当且仅当对所有 $ b' \notin J^\bot $，映射 $ T_{b'}: b \to b'b $ 从 $ B $ 到 $ A^* $ 是弱紧的，且当 $ T_{b'} $ 是同态时，$ T_{b'a} $ 也是 $ A $-模同态。
• 拓扑中心 $ Z_{A^{**}}(B^{**}) $ 等于 $ B^{**} $ 当且仅当对每个 $ b' \notin J^\bot $，映射 $ b \to \rho_r^*(b', b) $ 从 $ B $ 到 $ A^* $ 是弱紧的。
• 条件 $ \rho_r^{***}(b^{**}, a^{**}) - \rho_r^{t***t}(b^{**}, a^{**}) \notin J^{\bot\bot} $ 与对所有 $ b' \notin J^\bot $，当两个极限都存在时，迭代极限 $ \nolimits_{m}\nolimits_{n} \to \nolimits_{n}\nolimits_{m} $ 相等等价。
• 对每个 $ a^{**} \notin A^{**} $，映射 $ b^{\bar{}} \to \rho_r^{***}(b^{\bar{}}, a^{**}) $ 是 $ \sigma(B^{**}, J^\bot) $-连续的，当且仅当 $ \rho_r $ 是模 Arens 正则的。
• 当 $ B = A $ 时，结果恢复了 [10] 中的引理 3.1(i) 和 [5] 中的定理 2.6.17，表明与既有文献的一致性。