[论文解读] Arithmetic functions at consecutive shifted primes

Paul Pollack, Lola Thompson|arXiv (Cornell University)|May 17, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文证明，对于任意在 {φ, σ, ω, τ} 中的算术函数，存在无穷多组 K 个连续的平移素数（pₙ−1, ..., pₙ₊ₖ₋₁−1），使得该函数值严格递增或严格递减。该研究将 Maynard–Tao 方法扩展至有界素数间隔问题，以证明此类单调行为无限次出现，并进一步证明在连续素数上的数字和函数 s₉(p) 也表现出任意长的常数、递增和递减序列，从而在不依赖未被证明的猜想的前提下，彻底解决了 Sierpiński 长期以来的疑问。

ABSTRACT

For each of the functions $f \in \{ϕ, σ, ω, τ\}$ and every natural number $k$, we show that there are infinitely many solutions to the inequalities $f(p_n-1) < f(p_{n+1}-1) < \dots < f(p_{n+k}-1)$, and similarly for $f(p_n-1) > f(p_{n+1}-1) > \dots > f(p_{n+k}-1)$. We also answer some questions of Sierpiński on the digit sums of consecutive primes. The arguments make essential use of Maynard and Tao's method for producing many primes in intervals of bounded length.

研究动机与目标

• 建立存在无穷多组 K 个连续平移素数，使得算术函数 f ∈ {φ, σ, ω, τ} 严格递增或严格递减。
• 解决 Sierpiński 于 1961 年提出的问题：连续素数的数字和 s₉(p) 是否可能在任意长的序列中保持恒定、递增或递减。
• 证明算术函数在平移素数上的此类单调行为并非依赖于未被证明的猜想（如 Dickson 的猜想或假设 H）。
• 将 Maynard–Tao 方法扩展至处理平移素数参数下的乘法函数与加法函数，特别是在有界间隔的背景下。

提出的方法

• 利用 Maynard–Tao 方法在有界区间内生成大量素数，将其改编以分析连续素数 pₙ 处算术函数 f(pₙ−1) 的取值。
• 通过预筛条件 W = ∏_{p ≤ log₃ N} p 控制小素数模下的局部行为，确保平移素数的有利分布。
• 使用加权和 S₁ 与 S₂ 检测 n + H 中多个元素为素数的配置，其中 S₂/S₁ > K−1 意味着该元组中至少包含 K 个素数。
• 利用平方自由因子的结构及素因子计数（通过 ϱ(n)）来界定在 n + hᵢ − 1 中具有多个高重数素因子的 n 的数量。
• 应用 Banks–Freiberg–Turnage-Butterbaugh 提供的 Maynard–Tao 定理变体，构造包含 K 个连续素数且具有所需数字和性质的等差数列。
• 借助 Drmota–Mauduit–Rivat 定理的渐近等分布性质，从二元区间中选取具有特定数字和值的素数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在无穷多组 K 个连续素数，使得 φ(pₙ−1) < φ(pₙ₊₁−1) < ⋯ < φ(pₙ₊ₖ₋₁−1)？
• RQ2 对于 σ(pₙ−1)、ω(pₙ−1) 和 τ(pₙ−1)，是否对任意长的 K 都存在相同的单调行为？
• RQ3 数字和 s₉(p) 是否可能在任意长的连续素数序列中保持恒定、递增或递减？
• RQ4 是否可以无条件证明此类序列的存在性，而无需依赖 Dickson 的素数 k 元组猜想或假设 H？
• RQ5 Maynard–Tao 方法是否可被调整以分析平移素数处的算术函数，而不仅限于素数本身？

主要发现

• 对每个 f ∈ {φ, σ, ω, τ} 及每个 K ≥ 1，存在无穷多个 n，使得 f(pₙ−1) < f(pₙ₊₁−1) < ⋯ < f(pₙ₊ₖ₋₁−1)。
• 同样地，对每个这样的 f 和 K，存在无穷多个 n，使得 f(pₙ−1) > f(pₙ₊₁−1) > ⋯ > f(pₙ₊ₖ₋₁−1)。
• 存在无穷多组 K 个连续素数，使得其以 g ≥ 2 为底的数字和 s₉(p) 保持恒定。
• 存在无穷多组 K 个连续素数，使得 s₉(p) 严格递增或严格递减，对任意 K 成立。
• 结果为无条件成立：未依赖 Dickson 的猜想或假设 H，从而彻底解决了 Sierpiński 的问题。
• 该方法成功将 Maynard–Tao 机制扩展至处理平移素数处算术函数的复合值，将该方法的适用范围从素数检测本身进一步拓展。