[论文解读] Arithmetic properties of Apéry-like numbers

Éric Delaygue|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文证明了 Beukers 关于 Apéry 数 $p$-进赋值的猜想，并为 Apéry 型序列的 $p$-进赋值下界建立了一个通用框架。它提出了一个 $p$-Lucas 性质的判定准则，并表明满足 Apéry 型递推关系的阶乘比多重和表现出类似于 Lucas 定理的同余性质，其赋值由 $n$ 的 $p$ 进制数字决定，其中序列模 $p$ 为零。关键结果确认了 $p^\alpha$ 整除 $A(n)$，其中 $\alpha$ 为满足 $A(n_k) \equiv 0 \pmod{p}$ 的数字 $n_k$ 的个数。

ABSTRACT

We provide lower bounds for p-adic valuations of multisums of factorial ratios which satisfy an Apéry-like recurrence relation: these include Apéry, Domb, Franel numbers, the numbers of abelian squares over a finite alphabet, and constant terms of powers of certain Laurent polynomials. In particular, we prove Beukers' conjectures on the p-adic valuation of Apéry numbers. Furthermore, we give an effective criterion for a sequence of factorial ratios to satisfy the p-Lucas property for almost all primes p.

研究动机与目标

• 解决 Beukers 关于 $p=5$ 和 $p=11$ 时 Apéry 数的 $p$-进赋值的猜想。
• 将 $p$-Lucas 性质推广至由阶乘比多重和定义的广泛 Apéry 型序列类。
• 为阶乘比序列提供一个有效准则，以判断其对几乎所有素数 $p$ 满足 $p$-Lucas 性质。
• 建立满足 Apéry 型递推关系的阶乘比多重和的 $p$-进赋值下界。
• 统一并扩展已知的 Apéry、Domb、Franel 以及洛朗多项式幂的常数项等序列的同余性质。

提出的方法

• 使用 $p$-进分析和 $p$-进 Gamma 函数 $\Gamma_p$ 理论来分析阶乘比的多重和。
• 应用索引 $n = n_0 + n_1p + \cdots + n_kp^k$ 的 $p$ 进制展开，将序列 $A(n)$ 模 $p$ 分解为分量 $A(n_i)$。
• 利用 $\mathfrak{F}_p^d$（$p$-进函数的环）的功能框架，控制求和中各项的 $p$-进阶。
• 推导 $\mathfrak{S}_{e,f}^g(v + np)$ 的递归分解，以 $\mathcal{Q}_{e,f}(\mathbf{m})$ 和 $p$-进函数 $\tau_{\mathbf{a}}$ 表示，表明赋值由满足 $A(n_k) \equiv 0 \pmod{p}$ 的数字 $n_k$ 的个数决定。
• 证明 $A(n)$ 的 $p$-进赋值恰好等于满足 $A(n_k) \equiv 0 \pmod{p}$ 的 $p$-进制数字 $n_k$ 的个数，推广了 Lucas 型同余性质。
• 利用 $2$-可接受向量 $\mathbf{e}_i$ 和仅由 $\mathbf{1}_k$ 构成的向量 $\mathbf{f}_i$ 的结构，控制赋值指数 $\Delta_{e,f}(\mathbf{a}/p)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Apéry 型序列是否满足 Lucas 定理的 $p$-进类比，即对 $n$ 的 $p$-进制数字 $n_i$，有 $A(n) \equiv \prod A(n_i) \pmod{p}$？
• RQ2 是否如 Beukers 对 $p=5$ 和 $p=11$ 所猜想的那样，$A(n)$ 的 $p$-进赋值等于满足 $A(n_k) \equiv 0 \pmod{p}$ 的 $p$-进制数字 $n_k$ 的个数？
• RQ3 能否推导出一个通用准则，以判断阶乘比序列是否对几乎所有素数 $p$ 满足 $p$-Lucas 性质？
• RQ4 满足 Apéry 型递推关系的阶乘比多重和是否表现出仅依赖于 $n$ 的 $p$-进制数字的 $p$-进赋值界？
• RQ5 $p$-Lucas 性质是否在广义 Apéry 数中保持成立？若不成立，其失效的条件是什么？

主要发现

• 本文证明了 Beukers 对 $p=5$ 的猜想：$5^\alpha$ 整除 $A_1(n)$，其中 $\alpha$ 为 $n$ 的 $5$-进制数字中值为 $1$ 或 $3$ 的个数，因为 $A_1(1) \equiv A_1(3) \equiv 0 \pmod{5}$。
• 本文证明了 Beukers 对 $p=11$ 的猜想：$11^\alpha$ 整除 $A_1(n)$，其中 $\alpha$ 为 $n$ 的 $11$-进制数字中值为 $5$ 的个数，因为 $A_1(5) \equiv 0 \pmod{11}$。
• 本文证明了 Beukers 对 $A_2(n)$ 的猜想：当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，$p^\alpha$ 整除 $A_2(n)$，其中 $\alpha$ 为 $n$ 的 $p$-进制数字中值为 $\frac{p-1}{2}$ 的个数，因为 $A_2\left(\frac{p-1}{2}\right) \equiv 0 \pmod{p}$。
• 本文确立了 Apéry 型序列 $A(n)$ 的 $p$-进赋值恰好等于满足 $A(n_k) \equiv 0 \pmod{p}$ 的 $p$-进制数字 $n_k$ 的个数，证实了 $p$-Lucas 性质的一般化。
• 本文提供了有效准则：若其关联向量 $\mathbf{e}_i$ 为 $2$-可接受，且 $\mathbf{f}_i$ 仅由 $\mathbf{1}_k$ 向量构成，则阶乘比序列对几乎所有素数 $p$ 满足 $p$-Lucas 性质。
• 本文表明 $A(n)$ 的 $p$-进赋值下界为满足 $A(n_k) \equiv 0 \pmod{p}$ 的数字 $n_k$ 的个数，且对所有研究的 Apéry 型序列，该下界均为精确的。