[论文解读] Arithmetical Aspects of Beurling's Real Variable Reformulation of the Riemann Hypothesis

Luis Báez‐Duarte|ArXiv.org|Nov 29, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文使用初等数论方法，建立了黎曼猜想的Nyman-Beurling准则的算术等价形式。证明了序列算术逼近 $ G_n $ 在 $ L_p $-范数下收敛于 $ \rho(x)\theta^{-1} $ 当且仅当黎曼 zeta 函数在 $ \Re(s) > 1/p $ 时非零，且表明关键的经典逼近在 $ L_2 $ 中发散，从而强化了通过此类方法证明该猜想的困难性。

ABSTRACT

The paper presents two arithmetical versions of the Nyman-Beurling equivalence with the Riemann hypothesis, proved by classical, quasi elementary, number-theoretic methods, based on an integrated version of the classical combinatorial identity for Moebius numbers. These proofs also give insight into the troublesome phenomenon that many natural sequences of Beurling functions tending to the indicator function of (0,1) both pointwise and in L1 norm do not converge in L2 norm.

研究动机与目标

• 为黎曼猜想的 Nyman-Beurling 准则在 $ L_p $-空间中提供初等的、数论的证明。
• 研究自然算术逼近 $ \lambda(x) = \chi(x)\log x $ 在 $ L_p $-范数下的收敛行为。
• 证明经典逼近如 $ S_n $、$ B_n $ 和 $ F_n $ 在 $ L_2 $ 中发散，尽管其在点态和 $ L_1 $ 中收敛。
• 建立 $ \|M_1\|_p < \infty $ 当且仅当 $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $，将 $ M(x) $ 的算术增长与逼近理论联系起来。
• 证明若 $ \zeta(s) $ 在 $ \Re(s) = 1/p $ 处有零点，则自然子空间 $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 中的任何级数在 $ L_p $ 中均无法收敛于 $ -\chi $，尤其在 $ L_2 $ 中不收敛。

提出的方法

• 定义 $ G_n(x) = \int_{1/n}^1 M_1(\theta) \rho(\theta/x) \theta^{-1} d\theta $，其中 $ M_1(\theta) = M(1/\theta) $，作为 $ \lambda(x) $ 在 $ L_p $ 中的逼近序列。
• 利用恒等式 $ \lambda(x) = \int_0^1 M_1(\theta) \rho(\theta/x) \theta^{-1} d\theta $ 将 $ \lambda $ 表示为 $ \mathcal{B} $ 中函数的极限，暗示 $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $。
• 应用分部求和法及对 Möbius 函数 $ \mu(k) $ 的经典估计，包括 $ M(x) \ll x(\log x)^{-2} $，以分析 $ \|G_n - \lambda\|_p $。
• 通过定义 $ Uf(x) = f(x) - f(x/2) $ 的算子 $ U $，分析逼近在 $ L_2 $-范数下的行为，并从假设收敛中导出矛盾。
• 证明 $ \|M_1\|_p < \infty $ 当且仅当 $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $，将 $ M_1 $ 的 $ L_p $-可积性与逼近性质联系起来。
• 利用一个引理，表明在点态收敛下系数收敛 $ a_{n,k} \to \mu(k) $，从而证明 $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 中任何 $ L_p $-收敛级数的系数必须满足 $ c_k \to \mu(k) $，强制其为发散的 $ V_n $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ L_p $-范数下，算术逼近 $ G_n $ 收敛于 $ \lambda $ 是否蕴含 $ \zeta(s) $ 在 $ \Re(s) > 1/p $ 时非零？
• RQ2 尽管在点态和 $ L_1 $ 中收敛，$ S_n $、$ B_n $ 和 $ F_n $ 等经典逼近在 $ L_2 $ 中收敛于 $ \chi $ 或 $ \lambda $ 是否可能？
• RQ3 若 $ \zeta(s) $ 在 $ \Re(s) = 1/p $ 处有零点，则 $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 中的任何级数能否在 $ L_p $ 中收敛于 $ -\chi $？
• RQ4 在 $ L_p $-可积性与 $ \mathcal{B} $ 在 $ L_p(0,1) $ 中的稠密性之间，存在何种精确关系？
• RQ5 $ B_n $ 和 $ F_n $ 的 $ L_2 $-范数行为如何？它们在 $ L_2 $ 中是否可能拥有收敛子序列？

主要发现

• 对所有 $ p \in (1,\infty) $，有 $ \|G_n - \lambda\|_p \to 0 $ 当且仅当 $ \zeta(s) \not= 0 $ 对所有 $ \Re(s) \geq 1/p $ 成立，建立了直接的 $ L_p $-范数等价性。
• $ G_n \to \lambda $ 在 $ L_1 $ 和点态意义下成立，但 $ \|G_n - \lambda\|_2 \to \infty $，因此 $ G_n $ 在 $ L_2 $ 中发散，尽管它是自然的算术逼近。
• 经典逼近 $ S_n $（通过 $ \mu(k) $ 定义）在 $ L_2 $ 中发散，$ B_n $ 和 $ F_n $ 同样发散，原因在于其在 $ (0,1/n) $ 上的 $ L_2 $-范数无界。
• $ M_1(\theta) $ 的 $ L_p $-范数有限当且仅当 $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $，为逼近性质提供了数论刻画。
• 若 $ \zeta(s) $ 在 $ \Re(s) = 1/p $ 处有零点，则 $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 中的任何级数均无法在 $ L_p $ 中收敛于 $ -\chi $，尤其在 $ L_2 $ 中不收敛。
• 系数收敛引理表明，$ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 中任何 $ L_p $-收敛序列的系数必须满足 $ c_k \to \mu(k) $，从而强制其为发散的 $ V_n $。