[论文解读] Arithmetics in number systems with negative base

Zuzana Masáková, Edita Pelantová+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文研究了负基 $-\beta$ 数制的算术性质，证明了有限 $(-\beta)$-展开的集合 ${\rm Fin}(-\beta)$ 构成一个环当且仅当 $\beta$ 是一个无负共轭的 Pisot 或 Salem 数。本文证实了伊藤与佐久岛提出的猜想：当 $\beta$ 是具有正共轭的二次 Pisot 数时，${\rm Fin}(-\beta)$ 是一个环，并确定了 $(-\beta)$-整数在加法与乘法下产生的最多小数位数。

ABSTRACT

We study the numeration system with negative basis, introduced by Ito and Sadahiro. We focus on arithmetic operations in the set ${ m Fin}(-β)$ and $\Z_{-β}$ of numbers having finite resp. integer $(-β)$-expansions. We show that ${ m Fin}(-β)$ is trivial if $β$ is smaller than the golden ratio $\frac12(1+\sqrt5)$. For $β\geq\frac12(1+\sqrt5)$ we prove that ${ m Fin}(-β)$ is a ring, only if $β$ is a Pisot or Salem number with no negative conjugates. We prove the conjecture of Ito and Sadahiro that ${ m Fin}(-β)$ is a ring if $β$ is a quadratic Pisot number with positive conjugate. For quadratic Pisot units we determine the number of fractional digits that may appear when adding or multiplying two $(-β)$-integers.

研究动机与目标

• 分析 ${\rm Fin}(-\beta)$（实数中具有有限 $(-\beta)$-展开的集合）在算术运算下的代数结构。
• 确定 ${\rm Fin}(-\beta)$ 在加法与乘法下封闭的条件，即构成一个环。
• 验证伊藤与佐久岛提出的猜想：当 $\beta$ 是具有正共轭的二次 Pisot 数时，${\rm Fin}(-\beta)$ 是一个环。
• 量化两个 $(-\beta)$-整数的和与积在 $(-\beta)$-展开中可能出现的最大小数位数，针对二次 Pisot 单位。

提出的方法

• 利用 Rényi 的 $\beta$-展开框架，并将其扩展至 $\beta > 1$ 的负基 $-\beta$。
• 应用数字串的词典序排序及 $d^{*}_{\beta}(1)$ 的概念，以刻画负基系统中可接受展开的特征。
• 采用共轭分析及代数整数的性质，特别是 Pisot 数与 Salem 数，以评估 ${\rm Fin}(-\beta)$ 在算术运算下的封闭性。
• 应用定理 7，通过分析 $(-\beta)$-整数 $z$ 的共轭值 $z'$ 的大小，来界定和与积中的小数位数。
• 利用二次单位的恒等式 $\beta^2 = m\beta + n$ 推导 $H = \sup |z'|$ 与 $K = \inf |z'|$ 的界，其中 $z \in \mathbb{Z}_{-\beta}$。
• 利用关系 $\beta' = -\beta^{-1}$ 计算 $\beta^{L_{\oplus}}$ 与 $\beta^{L_{\otimes}}$ 的界，其中 $L_{\oplus}, L_{\otimes}$ 分别表示加法与乘法中可能出现的最大小数位数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，集合 ${\rm Fin}(-\beta)$ 对加法与乘法封闭，即构成一个环？
• RQ2 伊藤与佐久岛的猜想是否成立：当 $\beta$ 是具有正共轭的二次 Pisot 数时，${\rm Fin}(-\beta)$ 是一个环？
• RQ3 两个 $(-\beta)$-整数的和或积在 $(-\beta)$-展开中可能出现的最大小数位数是多少？
• RQ4 作为 Pisot 数或 Salem 数的 $\beta$ 的代数性质如何影响 ${\rm Fin}(-\beta)$ 的算术封闭性？

主要发现

• 当 $\beta < \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$ 时，集合 ${\rm Fin}(-\beta)$ 是平凡的，即仅包含有限多个元素。
• 当 $\beta \geq \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$ 时，${\rm Fin}(-\beta)$ 是一个环当且仅当 $\beta$ 是一个无负共轭的 Pisot 或 Salem 数。
• 伊藤与佐久岛的猜想得到证实：当 $\beta$ 是具有正共轭的二次 Pisot 数时，${\rm Fin}(-\beta)$ 是一个环。
• 对于满足 $\beta^2 = m\beta + 1$ 且 $m \geq 2$ 的二次 Pisot 单位，加法与乘法中的最大小数位数恰好为一个：$L_{\oplus}(-\beta) = 1$ 且 $L_{\otimes}(-\beta) = 1$。
• 对于黄金比例 $\beta = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$，实际值为 $L_{\oplus}(-\beta) = 2$ 且 $L_{\otimes}(-\beta) = 2$，尽管定理 7 仅给出上界为 3。
• 当 $\beta^2 = m\beta + n$ 且 $m \geq n \geq 1$ 时，共轭 $\beta'$ 为负数，因此 ${\rm Fin}(-\beta)$ 不是环，但和与积中的小数位数仍可被界定。