[论文解读] Arrangements of Submanifolds and the Tangent Bundle Complement

Priyavrat Deshpande|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 86被引用 11

一句话总结

本文将超平面排列理论推广至光滑流形中余维1子流形的排列，引入切丛补作为拓扑不变量。证明了基于面范畴的关联关系构建的Salvetti胞腔复形具有该补的同伦型，通过组合与范畴论工具，将Salvetti的经典结果推广至更广泛的几何设定。

ABSTRACT

Drawing parallels with hyperplane arrangements, we develop the theory of arrangements of submanifolds. Given a smooth, finite dimensional, real manifold $X$ we consider a finite collection $\mathcal{A}$ of locally flat, codimension-1 submanifolds that intersect like hyperplanes. To such a collection we associate two combinatorial objects: the face category and the intersection poset. We also associate a topological space to the arrangement called the tangent bundle complement. It is the complement of union of tangent bundles of these submanifolds inside the tangent bundle of the ambient manifold. Our aim is to investigate the relationship between the combinatorics of the arrangement and the topology of the complement. In particular we show that the tangent bundle complement has the homotopy type of a finite cell complex. We generalize the classical theorem of Salvetti for hyperplane arrangements and show that this particular cell complex is completely determined by the face category.

研究动机与目标

• 将超平面排列理论推广至光滑流形中余维1子流形的排列。
• 定义并研究切丛补作为类似于超平面排列中复化补的拓扑不变量。
• 建立切丛补与由排列的面范畴构造的胞腔复形之间的同伦等价。
• 通过范畴论与分层空间技术，将Salvetti构造推广至这一新设定。
• 通过面范畴与MH-复形结构，探索与广义Artin群及上同调的联系。

提出的方法

• 定义局部平坦、余维1的子流形排列，其交叠方式类似于超平面，确保其在局部与超平面排列相似。
• 引入面范畴与交集偏序集作为排列的组合不变量。
• 在底流形的切丛内，将切丛补定义为子流形切丛并集的补集。
• 利用d’Antonio与Delucchi对Salvetti复形的范畴化表述，基于面范畴中的关联关系构造胞腔复形。
• 通过神经引理与胞腔分层，证明Salvetti复形具有与切丛补同伦的类型。
• 证明Salvetti复形为MH-复形（度量-半球复形），推广了超平面排列中的拟柱体结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 子流形排列的组合结构在多大程度上控制了切丛补的拓扑？
• RQ2 Salvetti复形构造能否在超平面排列之外推广至具有类似超平面局部结构的子流形排列？
• RQ3 在这一推广设定中，面范畴如何决定切丛补的同伦型？
• RQ4 MH-复形结构与子流形排列中补的拓扑之间存在何种关系？
• RQ5 该框架能否用于建模广义Artin群及其覆盖空间？

主要发现

• 切丛补具有有限胞腔复形的同伦型，推广了超平面排列的古典结果。
• 与排列的面范畴相关的Salvetti复形与切丛补同伦等价。
• 证明Salvetti复形为MH-复形（度量-半球复形），推广了超平面排列中的拟柱体结构。
• Salvetti复形中所有2-胞胞均组合等价于具有偶数条边的定向多边形。
• Salvetti复形的1-骨架保持来自面偏序集的距离，k-胞形中的边路径具有统一方向且长度相等。
• 该构造在对偶映射（ω与ω̄）的选择下保持不变，产生同构复形。