[论文解读] Asymmetric and Symmetric Subsystem BCH Codes and Beyond

Salah A. Aly|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 43被引用 10

一句话总结

本文提出有限域上的非对称与对称子系统BCH码，将量子误差纠正扩展至非对称量子信道，其中比特翻转与相位移位错误的概率不相等。通过利用经典BCH码与Reed-Solomon码，作者构建了具有显式参数的非对称量子与子系统码家族，建立了非对称Singleton与汉明界，并推导出最优非对称MDS码，展示了其在$T_1 \ll T_2$动力学的真实噪声量子环境中优越性。

ABSTRACT

Recently, the theory of quantum error control codes has been extended to subsystem codes over symmetric and asymmetric quantum channels -- qubit-flip and phase-shift errors may have equal or different probabilities. Previous work in constructing quantum error control codes has focused on code constructions for symmetric quantum channels. In this paper, we develop a theory and establish the connection between asymmetric quantum codes and subsystem codes. We present families of subsystem and asymmetric quantum codes derived, once again, from classical BCH and RS codes over finite fields. Particularly, we derive an interesting asymmetric and symmetric subsystem codes based on classical BCH codes with parameters $[[n,k,r,d]]_q$, $[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$ and $[[n,k',0,d_z/d_x]]_q$ for arbitrary values of code lengths and dimensions. We establish asymmetric Singleton and Hamming bounds on asymmetric quantum and subsystem code parameters; and derive optimal asymmetric MDS subsystem codes. Finally, our constructions are well explained by an illustrative example. This paper is written on the occasion of the 50th anniversary of the discovery of classical BCH codes and their quantum counterparts were derived nearly 10 years ago.

研究动机与目标

• 为在比特翻转与相位移位错误发生概率不同的量子信道中适用的非对称量子误差控制码建立理论框架。
• 利用有限域上的经典BCH与Reed-Solomon码，将现有量子与子系统码构造推广至非对称设置。
• 建立非对称量子与子系统码参数的 fundamental bounds—Singleton与Hamming界。
• 构建最优非对称MDS子系统码并证明其存在性与参数。
• 弥合对称量子码与真实非对称量子噪声模型之间的差距，特别是$T_1 \ll T_2$的情形。

提出的方法

• 利用Calderbank-Shor-Steane（CSS）构造，将两个经典码$C_1$与$C_2$（参数分别为$[n,k_1,d_1]_q$与$[n,k_2,d_2]_q$）组合，形成非对称量子码。
• 定义$d_x = \min\{\operatorname{wt}(C_1 \setminus C_2^\perp), \operatorname{wt}(C_2 \setminus C_1^\perp)\}$与$d_z = \max\{\cdots\}$，分别量化对比特翻转与相位错误的纠错能力。
• 应用稳定子形式，推导出参数为$[[n,k,r,d_x]]_q$的子系统码（SSCs）与参数为$[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$的非对称子系统码（ASSCs）。
• 推导非对称Singleton界：对$[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$的ASSCs，有$k + r \leq n - d_x - d_z + 2$；并推导纯码的非对称汉明界。
• 利用经典BCH与RS码，构建显式非对称量子与子系统码家族，参数为$[[n,k,r,d]]_q$、$[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$与$[[n,k',0,d_z/d_x]]_q$。
• 证明每个非对称子系统码均可视为非对称量子码的特例，反之亦然，通过对偶性与码分解建立两者之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用经典BCH与Reed-Solomon码构造出能考虑比特翻转与相位移位错误概率不等的非对称量子纠错码？
• RQ2 非对称量子与子系统码参数的fundamental bounds—Singleton与Hamming界是什么？
• RQ3 如何构造最优非对称MDS码？它们是否在非对称Singleton界中取等？
• RQ4 在码参数与结构上，非对称量子码、对称量子码与子系统码之间有何关系？
• RQ5 子系统码理论能否推广至非对称量子信道？这对容错量子计算有何影响？

主要发现

• 本文基于有限域上的经典BCH与RS码，构建了显式非对称量子码家族，参数为$[[n,k,r,d_z/d_x]]_q$。
• 建立了非对称Singleton界：$k + r \leq n - d_x - d_z + 2$，该界对所有非对称子系统码均成立，并证明最优非对称MDS码在该界中取等。
• 推导出纯非对称子系统码的非对称汉明界：$\sum_{j=0}^{\lfloor(d_x-1)/2\rfloor} \binom{n}{j}(q^2-1)^j \leq q^n / (KK')$，该界推广了量子汉明界。
• 证明每个非对称量子码$[[n,k,d_z/d_x]]_q$等价于一个非对称子系统码$[[n,k,0,d_z/d_x]]_q$，反之亦然，建立了两类码之间的对偶关系。
• 本文证明某些量子BCH码也是LDPC码，从而可通过相同方法构造非对称量子LDPC码。
• 提供了一个示例，演示如何从经典BCH码构造非对称子系统码并推导其参数。