[论文解读] Asymmetry in Hilbert's fourth problem

Juan-Carlos Álvarez Paiva|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 7

一句话总结

该论文通过证明：在紧致的秩一对称空间（如实射影空间或球面）上，任何测地线可逆的Zoll Finsler度量都是可逆Zoll度量与一个恰当1-形式之和，从而解决了Hilbert第四问题的非对称版本。证明结合了Holmes-Thompson体积、Brunn-Minkowski不等式以及弱Blaschke猜想，表明在整个射影空间上的非可逆射影Finsler度量在此意义上是平凡的。

ABSTRACT

In the asymmetric setting, Hilbert's fourth problem asks to construct and study all (non-reversible) projective Finsler metrics: Finsler metrics defined on open, convex subsets of real projective $n$-space for which geodesics lie on projective lines. While asymmetric norms and Funk metrics provide many examples of essentially non-reversible projective metrics defined on proper convex subsets of projective $n$-space, it is shown that any projective Finsler metric defined on the whole projective $n$-space is the sum of a reversible projective metric and an exact 1-form.

研究动机与目标

• 通过刻画实射影n维空间上非可逆射影Finsler度量，解决Hilbert第四问题的非对称版本。
• 确定紧致秩一对称空间上的测地线可逆Finsler度量是否可分解为可逆度量与恰当1-形式分量。
• 将Berck在二维情形下关于射影Finsler度量的结果推广至高维及更一般的路径几何。
• 利用体积与对偶性技术，建立Zoll Finsler度量在对称性与闭1-形式方面的结构性分类。
• 阐明Holmes-Thompson体积与辛几何在Finsler几何中超越黎曼情形的作用。

提出的方法

• 将Holmes-Thompson体积作为辛不变量来比较Finsler度量，利用其在辛变换下的不变性。
• 在切空间的对偶共球丛上应用Brunn-Minkowski不等式，以比较非对称凸体的体积。
• 将Finsler度量 $ L $ 的对称化定义为 $ \bar{L} = (L + L \circ a)/2 $，其中 $ a $ 反转切向量。
• 利用弱Blaschke猜想（由Weinstein、Yang和Reznikov证明）将射影等价的Zoll度量的Holmes-Thompson体积相等。
• 使用Crampin引理由表明：若将任一1-形式加到可逆Finsler度量上，则仅当该形式为闭形式时，测地线可逆性才得以保持。
• 将弱Blaschke猜想得出的体积相等性与Brunn-Minkowski不等式的等式条件相结合，推导出度量与它的对称化之间的差异为恰当1-形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在微分同胚于紧致秩一对称空间的流形上的测地线可逆Zoll Finsler度量，是否都可分解为可逆Zoll度量与恰当1-形式之和？
• RQ2 是否存在非平凡的、在整条实射影n维空间上定义的非可逆射影Finsler度量？
• RQ3 在射影等价下，Holmes-Thompson体积是否能区分非可逆与可逆Zoll度量？
• RQ4 在缺乏可逆性的情况下，Finsler度量的对称化在多大程度上保持了测地线结构？
• RQ5 Brunn-Minkowski不等式如何约束切丛上Finsler度量的非对称性？

主要发现

• 任何在微分同胚于紧致秩一对称空间的流形上的测地线可逆Zoll Finsler度量，都是可逆Zoll度量与恰当1-形式之和。
• Finsler流形的Holmes-Thompson体积小于或等于其对称化的体积，且等式成立当且仅当度量与它的对称化之差为一个1-形式。
• 对于 $ \mathbb{R}P^n $ 上的射影Finsler度量，所有非可逆例子在此意义上都是平凡的，即它们由可逆度量与恰当1-形式之和构成。
• 测地线可逆Finsler度量的对称化与原度量射影等价，保持测地线路径（至多重新参数化）。
• 余切丛中Brunn-Minkowski不等式的等式情形意味着每点处的对偶凸体在平移意义下对称，从而导出1-形式分解。
• 加到对称化度量上的1-形式是闭的（因此由于流形的拓扑性质而为恰当形式），这符合Crampin引理由对测地线可逆性的要求。