[论文解读] Asymptotic analysis for the ratio of the random sum of squares to the square of the random sum with applications to risk measures

Sophie A. Ladoucette, J. L. Teugels|ArXiv.org|Nov 3, 2005

Probability and Risk Models参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文推导了在帕累托型尾部和一般计数过程下，随机平方和与随机和平方之比的渐近分布，使得即使在矩不存在的情况下，也能对样本变异系数和样本离散度进行渐近分析。主要贡献在于在不同矩条件及 $ \mathcal{D} $-或 $ p $-平均计数过程下，建立了 $ T_{N(t)} $ 的极限定理，扩展了先前的确定性结果。

ABSTRACT

Let \{X_1, X_2, ...\} be a sequence of independent and identically distributed positive random variables of Pareto-type with index α>0 and let \{N(t); t\geq 0\} be a counting process independent of the X_i's. For any fixed t\geq 0, define T_{N(t)}:=\frac{X_1^2 + X_2^2 + ... + X_{N(t)}^2} {(X_1 + X_2 + ... + X_{N(t)})^2} if N(t)\geq 1 and T_{N(t)}:=0 otherwise. We derive limiting distributions for T_{N(t)} by assuming some convergence properties for the counting process. This is even achieved when both the numerator and the denominator defining T_{N(t)} exhibit an erratic behavior (\mathbb{E}X_1=\infty) or when only the numerator has an erratic behavior (\mathbb{E}X_1

研究动机与目标

• 将 $ T_{N(t)} = \frac{\sum X_i^2}{(\sum X_i)^2} $ 的渐近结果从确定性计数过程情形推广到一般计数过程。
• 分析当底层分布的一阶或二阶矩不存在时，样本变异系数和样本离散度的极限行为。
• 利用正规变体理论，在帕累托型分布尾指数 $ \alpha $ 的不同取值范围内，为 $ T_{N(t)} $ 建立极限定理。
• 为精算和金融应用中矩条件不成立时的风险度量提供理论基础。

提出的方法

• 使用正规变体函数和拉普拉斯变换，分析在不同矩条件下 $ T_{N(t)} $ 的渐近行为。
• 对计数过程 $ \{N(t)\} $ 应用 $ \mathcal{D} $-平均和 $ p $-平均条件，推导弱收敛结果。
• 通过条件化于计数过程并分析归一化和比，推导 $ T_{N(t)} $ 的极限分布。
• 通过 $ \widehat{\mathrm{CoVar}(X)} = \sqrt{N(t)T_{N(t)} - 1} $ 建立 $ T_{N(t)} $ 与样本变异系数之间的联系。
• 使用斯利茨基定理和连续映射定理，推导样本离散度和变异系数的分布收敛性。
• 考虑计数过程的退化极限，以在确定性 $ N(t) $ 情形下恢复 Albrecher 和 Teugels (2005) 的早期结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ X_i $ 为 i.i.d. 帕累托型分布（尾指数 $ \alpha > 0 $）且 $ N(t) $ 为一般计数过程时，$ T_{N(t)} = \frac{\sum_{i=1}^{N(t)} X_i^2}{(\sum_{i=1}^{N(t)} X_i)^2} $ 的极限分布是什么？
• RQ2 当 $ \mathbb{E}[X] = \infty $ 或 $ \mathbb{E}[X^2] = \infty $ 时，样本变异系数 $ \widehat{\mathrm{CoVar}(X)} $ 的渐近行为如何变化？
• RQ3 在不同矩条件和一般 $ N(t) $ 下，样本离散度 $ \widehat{\mathrm{D}(X)} $ 的极限分布是什么？
• RQ4 这些结果能否推广到计数过程 $ N(t) $ 非确定性，但随时间 $ \mathcal{D} $-平均或 $ p $-平均的情形？
• RQ5 帕累托型分布的尾指数 $ \alpha $ 如何影响 $ T_{N(t)} $ 及其导出风险度量的极限分布？

主要发现

• 当 $ \alpha > 2 $ 时，有 $ \frac{t^{1-2/\alpha}}{\ell^*(t)} \left( \widehat{\mathrm{CoVar}(X)}^2 - \mathrm{CoVar}(X)^2 \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} \frac{1}{\mu_1} \cdot \frac{W_{\alpha/2}}{\Lambda^{1-2/\alpha}} $，当 $ t \to \infty $，其中 $ \Lambda $ 是 $ N(t)/t $ 的极限随机变量。
• 当 $ \mu_1 = \infty $ 时，有 $ \frac{t^{1/2 - 2/\alpha}}{\ell^*(t)} \left( \widehat{\mathrm{CoVar}(X)}^2 - \mathrm{CoVar}(X)^2 \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} 0 $ 几乎必然成立，表明为退化收敛。
• 当 $ \mu_4 < \infty $ 时，有 $ \sqrt{t} \left( \widehat{\mathrm{D}(X)} - \mathrm{D}(X) \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} \frac{\mathrm{N}(0, \sigma_{**}^2)}{\sqrt{\Lambda}} $，其中 $ \sigma_{**}^2 $ 明确定义为四阶矩以内的函数。
• 在一致可积性及 $ \mathbb{E}[\Lambda^{-1}] < \infty $ 条件下，有 $ \mathbb{V}\left\{ \widehat{\mathrm{D}(X)} \right\} \sim \sigma_{**}^2 \mathbb{E}[\Lambda^{-1}] \cdot \frac{1}{t} $，表明渐近方差以 $ 1/t $ 速率衰减。
• 在相同条件下，样本变异系数 $ \widehat{\mathrm{CoVar}(X)} $ 是一致且渐近无偏的，且满足 $ \mathbb{E}[\widehat{\mathrm{CoVar}(X)}] \to \mathrm{CoVar}(X) $。
• 当计数过程 $ \Lambda $ 在 1 处退化时，结果恢复了 Albrecher 和 Teugels (2005) 在确定性情形下的结论。