[论文解读] Asymptotic stability of N-solitons of the FPU lattices

Tetsu Mizumachi|EPrints - Department of Mathematics, Hokkaido University|Jun 7, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 22被引用 6

一句话总结

该论文证明了在Fermi-Pasta-Ulam（FPU）格点中，对于小的局域扰动，N-孤子解具有渐近稳定性。通过利用线性化KdV方程在Bäcklund变换下的指数稳定性，并在线性化FPU方程中采用偏向运动方向的加权空间进行分析，作者证明了N-孤子在小扰动下依然存在，且当t → ∞时，孤子最终会趋于一个稳定配置，表现为位置发生偏移、速度略有改变的孤子组合。

ABSTRACT

We study stability of N-soliton solutions of the FPU lattice equation. Solitary wave solutions of FPU cannot be characterized as a critical point of conservation laws due to the lack of infinitesimal invariance in the spatial variable. In place of standard variational arguments for Hamiltonian systems, we use an exponential stability property of the linearized FPU equation in a weighted space which is biased in the direction of motion. The dispersion of the linearized FPU equation balances the potential term for low frequencies, whereas the dispersion is superior for high frequencies. We approximate the low frequency part of a solution of the linearized FPU equation by a solution to the linearized KdV equation around an N-soliton. We prove an exponential stability property of the linearized KdV equation around N-solitons by using the linearized Backlund transformation and use the result to analyze the linearized FPU equation.

研究动机与目标

• 在小的局域扰动下，建立FPU格点方程中多孤子解的渐近稳定性。
• 通过谱分析和加权能量估计，克服FPU中缺乏变分结构的问题。
• 将先前关于1-孤子稳定性的结果推广到能量空间中的N-孤子情形。
• 分析解的长时间行为，表明N-孤子演化为一个稳定、发生位移的配置，且速度被修正。

提出的方法

• 使用在运动方向上具有指数衰减的加权空间，以捕捉最快移动孤子的主导动力学行为。
• 通过在N-孤子附近对线性化FPU方程的低频部分进行线性化KdV方程近似。
• 应用线性化Bäcklund变换，证明在N-孤子附近的线性化KdV方程具有指数稳定性。
• 在线性化FPU方程中建立谱隙与色散平衡，其中在高频时色散占主导，而在低频时与势能平衡。
• 利用集中紧致性原理和对初始扰动的小性假设，控制非线性相互作用。
• 通过Lyapunov型泛函和扰动论证，推导出能量空间中解的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小的局域扰动下，FPU格点的N-孤子解在能量空间中是否具有渐近稳定性？
• RQ2 当受到扰动时，各个孤子的速度和位置如何随时间演化？
• RQ3 在N-孤子附近，线性化FPU方程的动力学在多大程度上可由线性化KdV方程近似？
• RQ4 具有指数偏向的加权空间在捕捉解的渐近行为方面起什么作用？
• RQ5 孤子如何相互作用并在时间上趋于稳定，特别是在初始扰动存在的情况下？

主要发现

• 对于充分小的ε > 0，且初始扰动满足‖v₀‖_{l²} < δ₀ε²，解在所有t ≥ 0时保持接近N个运动孤子的和。
• 当t → ∞时，解在能量空间中收敛于一组N个孤子的配置，其修正速度c_{i,+}满足|c_{i,+} - c_{i,0}| < A₀(ε⁻¹‖v₀‖_{l²})。
• 在右行区域n ≥ c*t（其中c* ∈ (1, (1 + c₁,₀)/2)）内收敛一致，误差以O(ε³/² e^{-γ₀L})衰减，其中L为孤子间的最小间距。
• 渐近态在能量空间中是稳定的，孤子彼此分离并随时间保持其独立身份。
• 在N-孤子附近的线性化KdV方程通过Bäcklund变换实现指数稳定，该方法被用于控制线性化FPU的动力学。
• FPU与KdV线性化方程之间的近似误差在加权H¹范数下为O(ε⁵/²)，从而为将KdV用作低频FPU动力学的模型提供了合理性。