[论文解读] Asymptotical behaviour of the presence probability in branching random walks and fragmentations

Jean Bertoin, Alain Rouault|ArXiv.org|Sep 28, 2004

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文在子临界分支随机游走和分裂过程中，即使后代均值为无穷大时，也建立了存在概率与期望之间的渐近比例关系。通过改进离散时间辅助随机游走的大偏差分析，该研究去除了先前工作中不自然的有限均值假设，证明了对于 $ d \geq 1 $ 且仅满足 $ X\log X $ 条件的一般后代分布，有 $ \lim_{n} \frac{\mathbb{P}(Z_n(na+I) \geq 1)}{\mathbb{E} Z_n(na+I)} = K(a) > 0 $ 成立。

ABSTRACT

For a subcritical Galton-Watson process $(ζ_n)$, it is well known that under an $X \log X$ condition, the quotient $P(ζ_n > 0)/ Eζ_n$ has a finite positive limit. There is an analogous result for a (one-dimensional) supercritical branching random walk: when $a$ is in the so-called subcritical speed area, the probability of presence around $na$ in the $n$-th generation is asymptotically proportional to the corresponding expectation. In Rouault (1993) this result was stated under a natural $X \log X$ assumption on the offspring point process and a (unnatural) condition on the offspring mean. Here we prove that the result holds without this latter condition, in particular we allow an infinite mean and a dimension $d \geq 1$ for the state-space. As a consequence the result holds also for homogeneous fragmentations as defined in Bertoin (2001), using the method of discrete-time skeletons; this completes the proof of Theorem 4 in Bertoin-Rouault (2004 see math/PR/0409545). Finally, an application to conditioning on the presence allows to meet again the probability tilting and the so-called additive martingale.

研究动机与目标

• 去除子临界分支随机游走中后代点过程的严格有限均值假设。
• 在仅满足 $ X\log X $ 条件下，将渐近存在概率结果推广至一般维度 $ d \geq 1 $ 和无限均值后代分布。
• 通过离散时间骨架方法，证明结果在齐次分裂过程中的有效性。
• 完成文献 [7] 中关于分裂过程中倾斜概率的定理 4 的证明。

提出的方法

• 使用离散时间的费曼-卡茨型表示，将存在概率与辅助随机游走联系起来。
• 对辅助游走的泛函应用大偏差分析，以推导渐近估计。
• 采用大小加权抽样和分解技术，处理分支结构和条件期望。
• 利用连续时间分裂过程的离散骨架，将分支随机游走的结果推广至分裂过程。
• 应用控制收敛定理，处理条件概率比的统一有界性。
• 通过在存在事件上进行条件化并取 $ t \to \infty $，推导出极限倾斜概率测度，将其与加法鞅联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不需后代均值有限的条件下，渐近比例关系 $ \mathbb{P}(Z_n(na+I) \geq 1) \sim K(a) \cdot \mathbb{E} Z_n(na+I) $ 是否在子临界状态下成立？
• RQ2 在仅满足 $ X\log X $ 条件下，分支随机游走的结果能否推广至一般维度 $ d \geq 1 $？
• RQ3 当后代均值为无穷大时，分裂过程的渐近存在概率结果是否仍然有效？
• RQ4 对位置 $ na $ 处粒子存在的事件进行条件化，如何在 $ t \to \infty $ 时导出加法鞅和倾斜概率测度？
• RQ5 离散骨架在连接分支随机游走与连续时间分裂过程中的作用是什么？

主要发现

• 在仅满足 $ X\log X $ 条件下，对所有 $ d \geq 1 $，渐近比例关系 $ \lim_{n} \frac{\mathbb{P}(Z_n(na+I) \geq 1)}{\mathbb{E} Z_n(na+I)} = K(a) > 0 $ 成立，无需后代均值有限。
• 通过离散骨架方法，该结果可推广至齐次分裂过程，从而完成文献 [7] 中定理 4 的证明。
• 当 $ t \to \infty $ 时，对 $ Z_t(at+I) \geq 1 $ 进行条件化，可得到倾斜概率测度 $ \mathbb{P}^{(p)} $，其为加法鞅 $ M(p,s) $ 的 h-变换。
• 条件概率与无条件概率之比的极限几乎必然收敛于鞅 $ M(s,p) $，从而确认其收敛至倾斜测度。
• 证明依赖于对辅助随机游走的改进大偏差分析，统一有界性由局部中心极限定理和 $ X\log X $ 可积性导出。
• 常数 $ K(a) $ 为正且有限，确保在子临界状态下存在概率的衰减速率与期望一致。