[論文レビュー] Asymptotically free N=2 theories and irregular conformal blocks

Davide Gaiotto|ArXiv.org|Aug 3, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 143

ひとこと要約

この論文は、二次微分 $\phi_2(z)$ に高次極をもつ不規則な conformal block を導入することで、漸近的に自由な $\sigma=2$ ゲージ理論におけるインスタントン分配関数と2次元 CFT における conformal block 間の対応を確立する。著者らは、$SU(2)$ 理論において $N_f = 0,1,2,3$ の場合に正確に一致する、$L_1$ に対する固有状態かつ $L_2$ で消えるような特異な Virasoro 状態を定義し、$N_f=2$ の場合に一貫した余分な因子を示す。不規則な摂動によって、AGT 対応が漸近的に自由な理論へ拡張される。

ABSTRACT

A surprising connection between N=2 gauge theory instanton partition functions and conformal blocks has been recently proposed. We illustrate through simple examples the generalization to asymptotically free N=2 gauge theories

研究の動機と目的

• 不規則な摂動を用いて、超共形理論から漸近的に自由な $\sigma=2$ ゲージ理論への AGT 対応を拡張し、そのインスタントン分配関数と conformal block を一致させる。
• 6次元 $(2,0)$ 理論における不規則な摂動に対応する、$z^{-3}, z^{-4}$ の高次極をもつ二次微分 $\phi_2(z)$ に関連する新しいタイプの Virasoro 状態（不規則状態）を定義する。
• $SU(2)$ ゲージ理論における $N_f = 0,1,2,3$ フレーバーのインスタントン分配関数が、正しい $q$-依存性と余分な因子を含めて、これらの不規則な conformal block によって正確に再現されることを示す。
• Virasoro 代数の制約を用いて、各レベルで一貫性を持つように、再帰的にこれらの状態を構成する体系的な方法を提供する。

提案手法

• $L_n|\cdots\rangle = 0$ ($n > 2$) を満たし、$L_1$ に対して固有状態で $L_2|\cdots\rangle = 0$ であるような、Virasoro Verma モジュール内の特異な状態 $|\Delta, \Lambda^2\rangle$ を定義し、$z^{-3}$ 型の極をモデル化する。
• $L_n|\cdots\rangle = 0$ ($n > 3$) を満たす $z^{-4}$ 型の高次不規則状態を構築し、Virasoro 代数を用いて各レベルで後続状態を再帰的に解く。
• 内積 $\langle \Delta, \Lambda^2 | \Delta, \Lambda^2 \rangle = \sum \Lambda^{4n} |v_n|^2$ を用いて、インスタントン分配関数と各次数で一致する conformal block を計算する。
• インスタントン数のパラメータ $q$ を、$N_f=0$ の場合 $q = \Lambda^4$、$N_f=2$ の第二実現において $q = \Lambda^2$、$N_f=3$ の場合 $q = -2\Lambda$ と特定し、既知の結果と一致させる。
• $N_f=4$ の結果の漸近的極限を用いて余分な因子を扱い、$N_f < 2$ の場合にその因子が消えるが、$N_f=2$ の場合に質量スケーリングのため有限に保たれることを示す。
• 6次元 $(2,0)$ SCFT のコンactification に、codimension-two の特異点を導入することでゲージ理論を実現し、不規則な摂動は UV 限界における通常の摂動の融合から生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則な conformal block を用いて、$\sigma=2$ ゲージ理論への AGT 対応を漸近的に自由な理論へ拡張できるか？
• RQ2 二次微分 $\phi_2(z)$ の $z^{-3}$ および $z^{-4}$ 型の極の特異的挙動を再現できるように、Virasoro 状態をどのように定義できるか？
• RQ3 $N_f=2$ 理論におけるインスタントン分配関数への一致において、余分な因子が conformal block に果たす役割は何か？
• RQ4 不規則状態の再帰的式は、レベル 8 まで明示的計算で示唆されるように、すべてのレベルで一意な形式的解を持つのか？
• RQ5 不規則な摂動における $\sqrt{\phi_2(z)}$ の境界条件は、ローラン展開における固定係数として一貫して定式化可能か？

主な発見

• 不規則状態 $|\Delta, \Lambda^2\rangle$ から計算された内積 $\langle \Delta, \Lambda^2 | \Delta, \Lambda^2 \rangle$ は、$N_f=0$ の $SU(2)$ 理論において、$q = \Lambda^4$ で、レベル 8 まで各次数でインスタントン分配関数と正確に一致する。
• $N_f=1$ の場合、$z^{-3}$ および $z^{-4}$ 型の極をもつ conformal block は、$L_1|\psi\rangle = \Lambda^2|\psi\rangle$ および $L_2|\psi\rangle = 0$ を満たす状態として特定することで、$q = \Lambda^4$ で正しいインスタントン分配関数を再現する。
• $N_f=2$ の場合、二つの $z^{-4}$ 型の極をもつ conformal block は、$q = 4\Lambda^2$ でインスタントン分配関数と一致するが、余分な因子 $\exp(2\Lambda^2)$ が存在すると予想される。
• 第二実現における $N_f=2$ の場合、一つの不規則状態と二つの通常の状態からなる三つ点関数は、$q = \Lambda^2$ でインスタントン分配関数を正確に再現し、余分な因子は存在しない。
• $N_f=3$ の場合、$z^{-4}$ 型の極と二つの通常の摂動をもつ三つ点関数は、$q = -2\Lambda$ でインスタントン分配関数を再現するが、余分な因子 $\exp(1/b + b - 2m_1)$ が存在する。この因子は $N_f=4$ 要素の漸近的極限と一致する。
• 著者らは、$L_n|\psi\rangle = 0$ ($n > N$) を満たし、$L_1, \dots, L_{N-1}$ が定数倍として作用する形式的べき級数としての不規則状態が存在すると予想し、各レベルで一意であると結論づけている。